równanie stopnia n

[Analizator]

Witam.

Mam problem z następującym zadaniem:

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_{j}}\) są liczbami rzeczywistymi i

\(\displaystyle{ 0< a_{0}<a_{1}<...<a_{n-1}<a_{n}}\),

to równanie

\(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n}=0}\)

nie ma pierwiastków z, dla których \(\displaystyle{ \left| z\right| >1}\).

[Fl3t05]

\(\displaystyle{ z = x +iy}\) -> sprobuj rozpisac \(\displaystyle{ \left| z\right| >1}\) z definicji modulu, potem powinienes zauwazyc.

[AdamL]

A to nie jest zadanie na tw Rouche lub coś? Przepraszam, że budzę wątpliwość, ale kawał czasu temu to miałem i juz dokladnie tych twierdzonek nie pamietam

[fon_nojman]

Można zrobić z Rouchego, dobry trop.

Szkic:
Rozważyć równanie \(\displaystyle{ \frac{a_0}{a_n}+\frac{a_1}{a_n}z+\ldots+z^{n}=0.}\) Rozważyć funkcje \(\displaystyle{ g(z)=\frac{a_0}{a_n}+\frac{a_1}{a_n}z+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_n}z^{n-1}, f(z)=z^n.}\) W kole \(\displaystyle{ |z| \le 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ |g(z)|<|f(z)|,}\) stąd \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ f+g}\) mają tyle samo pierwiastków (dokładnie \(\displaystyle{ n}\)) w kole \(\displaystyle{ |z| \le 1}\) czyli poza nim nie mają pierwiastków.

[Dasio11]

Rozważyć funkcje \(\displaystyle{ g(z)=\frac{a_0}{a_n}+\frac{a_1}{a_n}z+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_n}z^{n-1}, f(z)=z^n.}\) W kole \(\displaystyle{ |z| \le 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ |g(z)|<|f(z)|,}\)

W kole to raczej nie, bo przecież \(\displaystyle{ f(0) = 0.}\) Ale co gorsza nawet na okręgu \(\displaystyle{ |z|=1}\) nie, bo gdy na przykład

\(\displaystyle{ g(z) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} z \\[2ex]
f(z) = z^2,}\)

to dla \(\displaystyle{ z=1}\) mamy

\(\displaystyle{ g(z) = 1 = f(z).}\)

W ten sposób nie zadziała.

[fon_nojman]

Trochę poczytałem na temat tego zadania jest to twierdzenie Enestroma-Kakey, podaje ono warunek dostateczny na stabilność wielomianu w sensie Schura.

Dowód można zrobić bez twierdzenia Rouche.

Nie wprost, załóżmy że \(\displaystyle{ z_0}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(z)=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots+a_0}\) z zadania oraz \(\displaystyle{ |z_0|>1.}\) Wtedy \(\displaystyle{ z_0}\) jest także pierwiastkiem \(\displaystyle{ (1-z)W(z)}\) czyli

\(\displaystyle{ -a_n z_0^{n+1}+(a_n-a_{n-1})z_0^n+\ldots+(a_1-a_0)z_0+a_0=0.}\)

Stąd
\(\displaystyle{ |a_n z_0^{n+1}|=|(a_n-a_{n-1})z_0^n+\ldots+(a_1-a_0)z_0+a_0|<(a_n-a_{n-1})|z_0|^n+\ldots+(a_1-a_0)|z_0|^n+a_0 |z_0|^n=a_n |z_0|^n<|a_n z_0^{n+1}|.}\)
Sprzeczność.