Pierwiastki wielomianu

[neron0308]

Liczby zespolone \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^{3}+3x+1}\). Obliczyć wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{\alpha^{2}+1}+\frac{\beta}{\beta^{2}+1}+\frac{\gamma}{\gamma^{2}+1}}\)

[Premislav]

Może wzory Viete'a trochę pomogą (choć pewnie istnieje dużo piękniejszy sposób)?
Dostajemy z nich układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1=\alpha\beta\gamma \\ 3=\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma \\ 0=\alpha+\beta+\gamma \end{cases}}\)
Podnosząc do kwadratu ostatnią równość i odejmując odeń drugą przemnożoną przez \(\displaystyle{ 2}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=-6}\). Ponadto zauważmy, że \(\displaystyle{ (\alpha\beta )^{2}+ (\alpha\gamma) ^{2}+(\beta\gamma) ^{2}=(\alpha\gamma+\beta\gamma+\alpha\beta) ^{2}-2(\alpha+\beta+\gamma)\alpha\beta\gamma}\). Przyda się też to, że \(\displaystyle{ \alpha(\beta\gamma) ^{2}+\beta(\alpha\gamma)^{2}+\gamma(\alpha\beta)^{2}=\alpha\beta\gamma(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)}\). Na koniec wstępu odnotujmy, iż \(\displaystyle{ \alpha\beta ^{2}+\alpha\gamma ^{2}+\beta\gamma ^{2}+\\ \beta\alpha ^{2}+\gamma\alpha ^{2}+\gamma\beta ^{2}=\alpha\beta(\alpha+\beta+\gamma)+\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)+\alpha\gamma(\alpha+\beta+\gamma)-3\alpha\beta\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)-3\alpha\beta\gamma}\)
Teraz weźmy nasze wyrażonko i brutalnie, na pałasza sprowadźmy je do wspólnego mianownika. Dostajemy (sprawdź, proszę, czy się nie pomyliłem w obliczeniach):
\(\displaystyle{ \frac{\alpha+\beta+\gamma+\alpha\beta ^{2}+\alpha\gamma ^{2}+\beta\gamma ^{2}+\beta\alpha ^{2}+\gamma\alpha ^{2}+\gamma\beta ^{2}+\alpha(\beta\gamma) ^{2}+\beta(\alpha\gamma)^{2}+\gamma(\alpha\beta)^{2}}{(\alpha\beta\gamma) ^{2}+(\alpha\beta )^{2}+ (\alpha\gamma) ^{2}+(\beta\gamma) ^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+1}}\)
Korzystając ze wskazówek i wyłączeń, które zamieściłem, powinieneś już wiedzieć, co gdzie i za co podstawić (o ile się w tym nie pogubisz; w razie czego pisz), rachunki na liczbach Ci pozostawię.
Jestem najmniej inteligentną osobą na świecie, niegodną lizać buty Królowej Nauk, stąd rozwiązanie jest brzydkie, ale jest.

[sebnorth]

wzory Viete'a jak najbardziej

myślałem tak: (trzy kropki oznaczają kopie wyrażeń dla bety i gammy)

\(\displaystyle{ \alpha^2 + 1 = t, \alpha^3 + \alpha = t\alpha}\), z tego \(\displaystyle{ t =- \frac{1}{\alpha} - 2}\)

\(\displaystyle{ S = \frac{\alpha}{\alpha^{2}+1}+\frac{\beta}{\beta^{2}+1}+\frac{\gamma}{\gamma^2 + 1} = \frac{\alpha}{- \frac{1}{\alpha} - 2}+ \ldots = \frac{\alpha^2}{-1-2\alpha} + \ldots}\)

trochę przekształcam: \(\displaystyle{ - \frac{\alpha^2}{1+2\alpha} = - \frac{1}{2} \left( \alpha - \frac{\alpha}{1 + 2\alpha} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\alpha}{1 + 2\alpha} - \alpha \right)}\)


skoro \(\displaystyle{ 0=\alpha+\beta+\gamma}\) oraz

to \(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} \frac{\alpha}{1 + 2\alpha} + \ldots = \frac{1}{4} \cdot \left( 1 - \frac{1}{1+2\alpha} + \ldots \right)}\)

teraz pozostaje wziąć wspólny mianownik i skorzystać ze wzorów Viete'a wypisanych u przedmówcy

odpowiedź: \(\displaystyle{ 0}\)

[Dasio11]

Metoda trochę bardziej wymagająca:

Niech \(\displaystyle{ W(z) = z^3 + 3z + 1.}\) Wtedy \(\displaystyle{ W'(z) = 3z^2+3.}\)
Pierwiastkami \(\displaystyle{ W'(z)}\) są liczby \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\) które nie są pierwiastkami \(\displaystyle{ W(z),}\) zatem \(\displaystyle{ W}\) nie ma pierwiastków wielokrotnych.

Stąd, ponieważ \(\displaystyle{ W(\alpha) = 0,}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{res}_{z = \alpha} \frac{z}{W(z)} = \lim_{z \to \alpha} z \cdot \frac{z-\alpha}{W(z)-W(\alpha)} = \frac{\alpha}{W'(\alpha)} = \frac{\alpha}{3 (\alpha^2 + 1)}.}\)

Podobnie

\(\displaystyle{ \mathrm{res}_{z = \beta} \frac{z}{W(z)} = \frac{\beta}{3 (\beta^2 + 1)} \\[2ex]
\mathrm{res}_{z = \gamma} \frac{z}{W(z)} = \frac{\gamma}{3 (\gamma^2 + 1)}.}\)

Niech \(\displaystyle{ C_r}\) będzie okręgiem o środku w \(\displaystyle{ 0}\) i o tak dużym promieniu \(\displaystyle{ r,}\) że \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) leżą wewnątrz niego. Wtedy na mocy twierdzenia o residuach dla każdego \(\displaystyle{ R \ge r}\) mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{C_R} \frac{z}{W(z)} \, \dd z = \mathrm{res}_{z = \alpha} \frac{z}{W(z)} + \mathrm{res}_{z = \beta} \frac{z}{W(z)} + \mathrm{res}_{z = \gamma} \frac{z}{W(z)} = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{\alpha}{\alpha^2+1} + \frac{\beta}{\beta^2+1} + \frac{\gamma}{\gamma^2+1} \right].}\)

Ale dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ R \ge r}\) oraz takich \(\displaystyle{ z}\) że \(\displaystyle{ |z| = R}\) zachodzi

\(\displaystyle{ |W(z)| = \left| z^3 + 3z + 1 \right| = \left| z^3 \right| \cdot \left| 1 + \frac{3}{z^2} + \frac{1}{z^3} \right| \ge R^3 \cdot \left( 1 - \frac{3}{R^2} - \frac{1}{R^3} \right) \ge \frac{1}{2} R^3,}\)

więc

\(\displaystyle{ \left| \int \limits_{C_R} \frac{z}{W(z)} \, \dd z \right| \le 2 \pi R \cdot \frac{R}{\frac{1}{2}R^3} = \frac{4 \pi}{R},}\)

zatem

\(\displaystyle{ \int \limits_{C_R} \frac{z}{W(z)} \, \dd z = 0.}\)

[a4karo]

No to jeszcze jedno:

Cały urok wielomianów symetrycznych . Szukane wyrażenie jest równe
\(\displaystyle{ \frac{1}{\alpha+\frac{1}{\alpha}} +\frac{1}{\beta+\frac{1}{\beta}}+\frac{1}{\gamma+\frac{1}{\gamma}}=\frac{\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta+\frac{1}{\beta}\right)+\left(\beta+\frac{1}{\beta}\right)\left(\gamma+\frac{1}{\gamma}\right)+\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)\left(\gamma+\frac{1}{\gamma}\right)}{\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta+\frac{1}{\beta}\right)\left(\gamma+\frac{1}{\gamma}\right)}}\)

Licznik tego wyrażenia jest równy
\(\displaystyle{ \alpha\beta+\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha\beta}+
\beta\gamma+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+
\alpha\gamma+\frac{\alpha}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha}+\frac{1}{\alpha\gamma}}\)

a to z kolei można zapisać tak (dodając zero w postaci \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{\alpha}+\frac{\beta}{\beta}+\frac{\gamma}{\gamma}-3}\))

\(\displaystyle{ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma +(\alpha+\beta+\gamma)\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)-3=0}\)