interpretacja zbioru

[manieczekmc]

Mam problem z następującym zadaniem.
Podać interpretacje geometryczną zbioru
\(\displaystyle{ A=\left\{ z \in Z: Re\left( z^{2} \right) \ge Re\left( z\right) + Im\left( z\right) \right\}}\)

[szw1710]

Zapisz to we współrzędnych kartezjańskich biorąc \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Jako rozwiązanie dostaje się dwie przecinające się proste.

[chris_f]

Standardowo. Przyjmujemy \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy powyższa nierówność przyjmie postać
\(\displaystyle{ Re(x^2-y^2+2xyi)\ge x+y}\)
\(\displaystyle{ x^2-y^2\ge x+y}\)
I teraz to trochę poprzekształcaj (krzywe stożkowe się kłaniają).

[szw1710]

Chyba nie stożkowe. Policz dobrze.

[chris_f]

Dwie proste to szczególny przypadek krzywych stożkowych.

[szw1710]

Kwestia interpretacji. Krzywe stożkowe to elipsa, hiperbola i parabola. Dwie proste można by od biedy uznać za graniczny przypadek hiperboli. Znajdziemy je natomiast na powierzchni siodłowej.

[chris_f]

No akurat mnie uczono, że każdy możliwy przekrój płaszczyzną stożka (tego nieskończonego w obie strony) to krzywa stożkowa. Nawet punkt (czyli wierzchołek) był uznawany za krzywą stożkową, tak samo jedna prosta.
Potem w geometrii analitycznej robiło się to algebraicznie, ale do mnie jakoś bardziej przemawia ta interpretacja geometryczna - mogę to sobie łatwo zwizualizować, co przy algebraicznym zapisie już takie oczywiste nie jest.