Równanie kwadratowe

[Mhadox]

\(\displaystyle{ z^{2} - 2iz +3=0}\)

Witajcie , mam problem z powyzszym rownaniem , jak obliczyc to rownanie z zastosowaniem \(\displaystyle{ z=x + iy}\) ? Udalo mi sie dojsc do postaci gdzie czesc rzeczywista wynosi \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2} + 2y + 3 = 0}\) oraz czesc urojona \(\displaystyle{ 2xy - 2x = 0}\). Nie wiem czy cos zle policzylem ale nie potrafie dalej ruszyc. Prosze o wyjasnienie

[agnieszka92]

Dobrze policzyłeś. Z drugiego równania masz \(\displaystyle{ 2x(y-1)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=0 \vee y=1}\). Wstaw do pierwszego i otrzymasz rozwiązania.

[Mhadox]

Po wstawieniu \(\displaystyle{ y=1}\) do pierwszego wychodzi \(\displaystyle{ x^{2}= -6}\) , mozna to rozbic, ze \(\displaystyle{ x= \sqrt{-6}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x= \sqrt{\left| i\right|6 }}\) czyli \(\displaystyle{ x= -6i \vee x=6i}\) ?

[agnieszka92]

Nie, bo \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\). Wynika stąd, że nie może być \(\displaystyle{ y=1.}\) I trochę Ci źle coś wyszło, bo powinno być \(\displaystyle{ x^2=-4}\).

[Mhadox]

Czyli wstawiam \(\displaystyle{ x=0}\) w ktorym potem wychodzi \(\displaystyle{ -y^{2} + 2y + 3}\) a po rozwiazaniu tego rownanania kwadratowego wychodzi \(\displaystyle{ y_{1} = -1}\) i \(\displaystyle{ y_{2} =3}\). Czyli rozwiazaniem tego rownania jest \(\displaystyle{ z = 0 + 3i}\) oraz \(\displaystyle{ z = 0 - i}\) ?

[agnieszka92]

Owszem. Ale możesz napisać po prostu \(\displaystyle{ z=3i}\) oraz \(\displaystyle{ z=-i}\). Możesz pominąć te zera.

[Mhadox]

Ok , dziekuje za rozwianie watpliwosci oraz nieoceniona pomoc. Łap "Pomogła"