Równania z liczbami zespolonymi

[bmw994]

Witam serdecznie, mam problem z rozwiazaniem 2 równań :
1.\(\displaystyle{ z^{4} + \left( 1-18i\right) z^{2} - 18i = 0}\)
2. \(\displaystyle{ z^{3} - 3 z^{2} +8iz-24i=0}\)
ktoś moze wie jak sie z nimi uporac?

[kerajs]

1,
\(\displaystyle{ (z^2+1)(z^2-i18)=0}\)

Ukryta treść:    

z _{1}=i, z _{2}=-i, z _{3}=3+i3,z _{4}=-3-i3

2.
\(\displaystyle{ (z-3)(z^2+8i)=0}\)

Ukryta treść:    

z _{1}=3, z _{2}=-2+i2, z _{3}=2-i2

Potrafisz dalej?

[bmw994]

no własnie nie wychodzi mi, wiem ze musze "rozbic" i tak zeby powstał mi jakis kolejny wzór? zgadza sie?-- 8 wrz 2014, o 01:23 --\(\displaystyle{ z _{1}=i, z _{2}=-i, z _{3}=3+i3,z _{4}=-3-i3}\) nie czaje, tą są wyniki? jak to rozpisałes?

[kerajs]

Tak, to są wyniki.

1.
\(\displaystyle{ z^2+1=0}\) lub \(\displaystyle{ z^2-i18=0}\)

2
\(\displaystyle{ z=3}\) lub \(\displaystyle{ z^2+i8=0}\)


np. \(\displaystyle{ z^2+i8=0}\)
\(\displaystyle{ z^2=-i8}\)
\(\displaystyle{ z^2=8(\cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2} )}\)
\(\displaystyle{ z^2=8(\cos ( \frac{3 \pi }{2}+k2 \pi ) +i \sin ( \frac{3 \pi }{2}+k2 \pi ) )}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{8} (\cos (\frac{3 \pi }{4}+k \pi ) +i \sin ( \frac{3 \pi }{2} +k \pi )}\)
\(\displaystyle{ z _{1} =2 \sqrt{2}(- \frac{ \sqrt{2} }{2}+i \frac{ \sqrt{2} }{2})=-2+i2}\)
\(\displaystyle{ z _{2} =2 \sqrt{2}( \frac{ \sqrt{2} }{2}-i \frac{ \sqrt{2} }{2})=2-i2}\)

[bmw994]

aha no teraz czaje, to rozpisałes ze wzoru \(\displaystyle{ \left| z\right| ^{n}}\), i jak juz mam to i to wszystko ? Zaczynam z tym tematem i mi sie wszystko pomieszalo...-- 8 wrz 2014, o 14:02 --Dobra rozwiazałem, próbowałem to rozwiazac żeby nie uzywac tych wszystkich przekształceń trygonometrycznych. Chcę sie jeszcze tylko poradzic czy ten sposob jest prawidłowy(własciwie jest skoro wyszły mi takie same wyniki) ale chodzi mi o to czy wszystkie tego typu równania moge tak rozwiązac.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2. z=3 \vee z^{2} +8i=0\\
z^{2}=-8i \ z=x+iy\\
\left( x+iy\right) ^{2}=-8i\\
x^{2} +2ixy+i^{2}y^{2}= -8i \ i^{2}=-1 \ (podstawiam)\\

\begin{cases} x^{2}-y^{2} =0 \\ 2xy=-8\\ x^{2}+y^{2}= \sqrt{\left( -8\right)^{2} } \end{cases}\\
podliczam 1-sze i 2-gie równanie \\
x_{1} =2 \vee x_{2}=-2 \\
wyliczam \y,\ ktore :
y_{1} =-2 \vee y_{2}=2 \\
zatem \ z: \\
z_{1} =3 \ z_{2}= 2-2i \ x_{3} =-2+2i \\}\)