Pierwiastkowanie liczb zespolonych

mifka · Post autor: **mifka** » 23 maja 2007, o 23:17

przeszukałam całe forum i bacznie czytalam każdą wskazówke mimo tego dalej nie mogę pojąć jak mam zrobić zadania z pierwiastekim liczb zespolonych kiedy cosinus i sinus nie wychodzi mi standardowo ze tak powiem.
usiluje to zrozumiec ale jakos mi nie dizie niestety.. siedze siedze i sie wkurzam bylabym wdzieczna gdyby ktos zechcial mi wytlumacyzc jak blondynce jak co i gdzie po ci i skad sie wzielo bo musze rozgryzc te zadania ... oto przykład :

$\displaystyle{ \sqrt[3]{4+i}}$

bardzo prosze o odpowiedzec..

Temat poprawiłem
luka52

natkoza · Post autor: **natkoza** » 24 maja 2007, o 08:12

Załóżmy, że mamy liczbę zespoloną postaci $\displaystyle{ z=a+bi}$, aby wyliczyć z niej pierwiastek n-tego stopnia wykonujemy kolejno następujące czynności
I. Wyliczamy sobie moduł liczby zespolonej ze wzoru $\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
II. Wyliczamy $\displaystyle{ \sin \psi}$ i $\displaystyle{ \cos \psi}$ i na podstawie tego odczytujesz wartość $\displaystyle{ \psi}$. Przypomnę, ze $\displaystyle{ \sin \psi=\frac{a}{|z|}}$ a $\displaystyle{ \cos \psi=\frac{b}{|z|}}$
III. Podstawiamy wszystko do wzoru: $\displaystyle{ W_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) +i\sin \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) \right)}$ gdzie $\displaystyle{ W_{k}}$ jest pierwiastiem nr k.

mifka · Post autor: **mifka** » 24 maja 2007, o 11:23

to to ja wiem mnie chodzio rozwioazanie na liczbach taki przyklad mialam na kolokwium i chodzi mi zeby kto go rozwiazal mi sie wydaje ze to trzeba podniesc stronami do potegi.. tylko niewiem czy napewno .. dlatego chcialabym by ktos to orziwazal a ja bym reszte juz umiala zrobic analogicznie :>

tomek.zkl · Post autor: **tomek.zkl** » 26 maja 2007, o 18:32

dla przykładu pierwiastek $\displaystyle{ \sqrt[3]{4+i}}$ ma trzy rozwinięcia
podstawiamy do wzoru z poprzedniego postu na pierwiastki:
$\displaystyle{ z=4+i}$
$\displaystyle{ |z|=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}}$ oraz
$\displaystyle{ \sin \psi=\frac{4}{\sqrt{17}}\ \wedge\ \cos \psi=\frac{1}{\sqrt{17}}}$ $\displaystyle{ \Longleftrightarrow\ \arcsin \frac{4}{\sqrt{17}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{17}}=\alpha}$ (lepiej gdyby wyszła konkretna liczba)

dla $\displaystyle{ k=1}$ mamy $\displaystyle{ W_{1}=\sqrt[3]{\sqrt{17}} \left( \cos \left( \frac{\alpha+2\pi}{3}} \right) +i\cdot\sin \left( \frac{\alpha+2\pi}{3} \right) \right)}$,
dla $\displaystyle{ k=2}$ mamy $\displaystyle{ W_{2}=\sqrt[3]{\sqrt{17}} \left( \cos \left( \frac{\alpha+4\pi}{3}} \right) +i\cdot\sin \left( \frac{\alpha+4\pi}{3} \right) \right)}$,
dla $\displaystyle{ k=3}$ mamy $\displaystyle{ W_{3}=\sqrt[3]{\sqrt{17}} \left( \cos \left( \frac{\alpha+6\pi}{3}} \right) +i\cdot\sin \left( \frac{\alpha+6\pi}{3} \right) \right)}$

bisz · Post autor: **bisz** » 27 maja 2007, o 09:55

ludki, jak macie w nawiasach wyrazenia wysokie w sensie np pietrowe ulamki, to piszcie przed lewyn mawiasem ft( a przed prawym
ight)
to na prawde sensowniej wyglada:) pozdrawiam

corner · Post autor: **corner** » 4 cze 2007, o 18:14

A coś takiego? Pewnie tak samo, ale w odpowiedziach jest bardzi ładna liczba i to w postaci sumy...

$\displaystyle{ \sqrt{(-3-4i)}}$

Rogal · Post autor: **Rogal** » 4 cze 2007, o 18:17

Jeśli chodzi o pierwiastki kwadratowe, to gdy nie ma ładnych wartości funkcji trygonometrycznych, przy zamianie na postać trygonometryczną, należy zarzucić okiem tutaj:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=23611
i wszystko jasne ; )

Ależ jestem nieskromny ; p

technofetishist · Post autor: **technofetishist** » 8 cze 2007, o 20:59

Na wstępie chciałem przeprosić Rogal'a, że "pominąłem" jego post, ale niestety nie zrozumiałem jego tematu https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=23611 ...

corner pisze:A coś takiego? Pewnie tak samo, ale w odpowiedziach jest bardzi ładna liczba i to w postaci sumy...

$\displaystyle{ \sqrt{(-3-4i)}}$

Chciałbym bardzo, bardzo, bardzo prosić - o rozwiązanie podanego powyżej przykładu (zadania 8.14 z Analizy mat. w zadaniach, Krysickiego i Włodarskiego).

Wydaje mi się, że w miarę rozumiem samą ideę pierwiastkowania liczb zespolonych, ale kiedy przychodzi do "niestandardowych" wartości argumentu l. zespolonej... odpadam zupełnie.

$\displaystyle{ z=\sqrt{-3-4i}}$

$\displaystyle{ \vert z \vert$=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5}$

$\displaystyle{ \cos \varphi=-\frac{3}{5}}$

$\displaystyle{ \sin \varphi =-\frac{4}{5}}$

I tu pojawia się problem... Nie bardzo mi to idzie dalej. φ wychodzi 53-54°

Prosiłbym więc bardzo o wyjaśnienie jak dojść do książkowego wyniku: $\displaystyle{ 1-2i}$

Z góry serdecznie dziękuję

Jopekk · Post autor: **Jopekk** » 8 cze 2007, o 21:56

Bardzo łatwo:

$\displaystyle{ z=\sqrt{-3-4i}}$
$\displaystyle{ z=\sqrt{(1-2i)^{2}}=1-2i}$

Bo przecież $\displaystyle{ i=\sqrt{-1}}$

technofetishist · Post autor: **technofetishist** » 9 cze 2007, o 01:16

Przyznam, że oczekiwałem bardziej złożonej i skomplikowanej odpowiedzi, a tu proszę .

O tym nie pomyślałem. Podejście zupełnie inne, w pewnym sensie prostsze, a z pewnością bardziej praktyczne. Z drugiej strony trzeba mieć trochę "obycia" z liczbami zespolonymi, bo nowicjuszowi nie rzuci się to w oczy.

Dzięki wielkie, postaram się patrzeć na takie przykłady właśnie pod tym kątem .

Jopekk · Post autor: **Jopekk** » 9 cze 2007, o 01:52

Oczywiście są dwie wartości tego pierwiastka. Dochodzi jeszcze: $\displaystyle{ -1+2i}$.

technofetishist · Post autor: **technofetishist** » 9 cze 2007, o 02:10

Jopekk pisze:Oczywiście są dwie wartości tego pierwiastka. Dochodzi jeszcze: $\displaystyle{ -1+2i}$.

Właśnie miałem napisać, że znalazłem inną metodę obliczania tych pierwiastków i jakby przypomniało mi się, że ich powinno być tyle ile wynosi stopień pierwiastka .

Ale do rzeczy... opiszę, bo może komuś się kiedyś przyda (choć pewnie żadne odkrycie).

Znalezione w Algebrze liniowej 1, przykłady i zadania - Jurlewicz i Skoczylas.

Teoria:

Dla pierwiastka o n-tym stopniu rozwijamy odpowiednio $\displaystyle{ (x+iy)^n}$
Następnie tworzymy układ dwóch równań.
Lewą stroną pierwszego równania są wyrazy bez jednostki urojonej, prawą zaś część rzeczywista liczby zespolonej z której liczymy pierwiastek.
Lewą stroną drugiego równania, wyrazy z jednostką urojoną (ale jej pozbawione), prawą część urojona.
Rozwiązania tego układu równań są częściami rzeczywistymi i urojonymi pierwiastków liczby zespolonej. Iksy to części rzeczywiste, igreki - urojone.

Przykład:
$\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}$

$\displaystyle{ (x+iy)^2=-3-4i}$

$\displaystyle{ x^2+2ixy-y^2=-3-4i}$

$\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2=-3\\2xy=-4\end{cases}}$

$\displaystyle{ x=1 y=-2 \wedge x=-1 y=2}$

$\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=1-2i \sqrt{-3-4i}=-1+2i}$

Całkiem prawdopodobne, że gdzieś w moim rozumowaniu czai się błąd, bo biegły w matematyce nie jestem, ale jeśli ma to znamiona poprawości i choć odrobinę przydatne jest warto było napisać.

Jopekk · Post autor: **Jopekk** » 9 cze 2007, o 13:15

Może się kiedyś przyda. ( :

Wracając do teorii, to odnośnie pierwiastków n-tego stopnia, jest ich jak wiadomo n i nawet nie trzeba wszystkich wyliczać w niektórych przykładach, tylko wystarczy to rozrysować na płaszczyźnie Arganda, gdzie kąty pomiędzy tymi pierwiastkami są takie same, np. dla dwóch pierwiastków $\displaystyle{ \pi}$ a dla trzech $\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}$.

Wygląda to mniej więcej tak:

.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 11 cze 2007, o 20:30

technofetishist, nie masz mnie za co przepraszać, ale ja spróbuję Ci ukazać, że mój temat nie jest taki zły i nie gryzie ; )
Najlepszy dowód sam sobie dałeś, przepisując fragment książki, w którym to właśnie metoda ta jest zapisana ogólniej, dla pierwiastków n-tego stopnia (acz tylko w teorii, bo w praktyce wychodzą okrutne układy). Ja w moim artykule po prostu opisałem tę metodę dla pierwiastka stopnia drugiego, wyprowadzając ją, a nie tak jak masz w tej książce przykład, że rozwiązania układu są "odgadnięte" : )
Spróbuj nie tyle przeczytać i zrozumieć mój artykuł, co z niego skorzystać, po prostu wstawiając swoje dane pod literki, które je tam reprezentują, a otrzymasz wynik bez myślenia i wielkiego zastanawiania się. Gdyby jakieś jednak problemy były, to pisz tu śmiało, może jeszcze komuś się przyda.
To co mnie wydaje się łatwo i oczywiste, wcale nie musi być dla innych, artykuł zawsze można poprawić, więc śmiało bądź testerem

technofetishist · Post autor: **technofetishist** » 12 cze 2007, o 14:45

@Rogal

Spojrzałem jeszcze raz i po przyswojeniu "metody z układem równań" zrozumiałem o co chodzi .
Faktycznie sposób krótszy i lepszy, choć chyba pozostanę przy tym o którym pisałem. Wyłącznie ze względu na to, że nie chciałbym zapomnieć jakiegoś minusa na kolokwium . Z drugiej strony - mam nadzieję, że nie będzie pierwiastków stopnia trzeciego, a jeśli już to z ładnymi wartościami argumentu.

W samym artykule jakoś mętnie jawi mi się środek, ale nie myślałem nad tym zbyt mocno, raczej zmierzałem ku końcowi . Zreszą jak już pisałem - matematyk ze mnie żaden.

Z mojej strony chyba koniec przyswajania pierwiastków . Dziękuję wszystkim za pomoc.

[ Dodano: 12 Czerwca 2007, 14:57 ]
A jednak jeszcze coś... być może się mylę, a już na pewno czepiam, ale czy w Twoim artykule Rogal, ostatnie wzory:

$\displaystyle{ \sqrt{x+yi} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}} i \ \ \sqrt{x+yi} = -\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} - \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}} i}$

oraz

$\displaystyle{ \sqrt{x+yi} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} - \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}} i \ \ \sqrt{x+yi} = -\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}} i}$

Nie powinny mieć $\displaystyle{ \wedge}$ zamiast $\displaystyle{ \vee}$?