Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Post autor: Rogal »

O, nie widziałem wtedy, że jednak Cię artykuł zainteresował : )
Teraz jest już zmieniony, poprawiony (tak myślę) i nie ma tego zapisu z 'lubem'. Jednak był on tam konieczny, bo nie możemy powiedzieć, że pierwiastek z jednej liczby to jest coś i coś, tylko coś lub coś, bo one nie są niejako 'naraz', tylko każdy z osobna, tak to mętnie tłumacząc. A w sumie chętnie bym posłuchał kogoś specjalizującego się w języku matematyki, jak powinno się pisać w takim przypadku...

Tak dodam jeszcze, że gdyby ktoś miał jakieś uwagi do tych wzorów, to proszę pisać, najskuteczniej na PW.
Skoora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 27 sie 2007, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek/Rzeszów
Podziękował: 2 razy

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Post autor: Skoora »

Witam serdecznie!!!
Nie chcąz zakładać nowego tematu i robić niepotrzebnego zamieszania chciałbym prosić o małą pomoc. Przeszukałem już wszystkie zeszyty i niestety ale nie mogę znaleść rozwiązania dlaczego \(\displaystyle{ \sqrt{-8} = 2 \sqrt{2i}}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{-8} = -2 \sqrt{2i}}\)
Czy ktoś potrafi mi wytłumaczyć skąd bierze sie w rozwiązaniu nagle "i"?
Bardzo proszę o pomoc!
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Post autor: Rogal »

Bo przecież z definicji \(\displaystyle{ \sqrt{-1} = i}\) (bądź też -i, stąd druga możliwość).
natkoza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2278
Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 602 razy

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Post autor: natkoza »

\(\displaystyle{ \sqrt{-8}=\sqrt{8\cdot (-1)}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}=2\sqrt{2} i 2\sqrt{2}(-i)=-2\sqrt{2}i}\)
Skoora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 27 sie 2007, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek/Rzeszów
Podziękował: 2 razy

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Post autor: Skoora »

Dziękuję bardzo!!! Tego mi było trzeba.

POZDRAWIAM
Reebook92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 29 lut 2012, o 15:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Post autor: Reebook92 »

technofetishist pisze:
Jopekk pisze:Oczywiście są dwie wartości tego pierwiastka. Dochodzi jeszcze: \(\displaystyle{ -1+2i}\).
Właśnie miałem napisać, że znalazłem inną metodę obliczania tych pierwiastków i jakby przypomniało mi się, że ich powinno być tyle ile wynosi stopień pierwiastka .

Ale do rzeczy... opiszę, bo może komuś się kiedyś przyda (choć pewnie żadne odkrycie).

Znalezione w Algebrze liniowej 1, przykłady i zadania - Jurlewicz i Skoczylas.

Teoria:

Dla pierwiastka o n-tym stopniu rozwijamy odpowiednio \(\displaystyle{ (x+iy)^n}\)
Następnie tworzymy układ dwóch równań.
Lewą stroną pierwszego równania są wyrazy bez jednostki urojonej, prawą zaś część rzeczywista liczby zespolonej z której liczymy pierwiastek.
Lewą stroną drugiego równania, wyrazy z jednostką urojoną (ale jej pozbawione), prawą część urojona.
Rozwiązania tego układu równań są częściami rzeczywistymi i urojonymi pierwiastków liczby zespolonej. Iksy to części rzeczywiste, igreki - urojone.

Przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)

\(\displaystyle{ (x+iy)^2=-3-4i}\)

\(\displaystyle{ x^2+2ixy-y^2=-3-4i}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2=-3\\2xy=-4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=1   y=-2   \wedge   x=-1   y=2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=1-2i    \wedge    \sqrt{-3-4i}=-1+2i}\)

Całkiem prawdopodobne, że gdzieś w moim rozumowaniu czai się błąd, bo biegły w matematyce nie jestem, ale jeśli ma to znamiona poprawości i choć odrobinę przydatne jest warto było napisać.
mógłby ktoś rozpisać ten układ równań bo mi nie wychodzi w ogóle. Nie aktualne już:)
ODPOWIEDZ