Mam za zadanie rozwinąć w szereg Laurenta poniższe funkcje:
a) \(\displaystyle{ f(z)= \frac{3z+5i}{z^{2}+3iz-2}}\) w pierścieniu:
1. \(\displaystyle{ 1<\left| z\right| <2}\)
2. \(\displaystyle{ 0<\left| z+i\right| <1}\)
3. \(\displaystyle{ 0<\left| z+2i\right| <1}\)
b) \(\displaystyle{ f(z)=ze^{ \frac{1}{z-1}}}\) w pierścieniu: \(\displaystyle{ 0<\left| z-1\right| <\infty}\)
c) \(\displaystyle{ f(z)=\left( z^{2}+2z\right)e^{ \frac{i}{z}}}\) w pierścieniu: \(\displaystyle{ 0<\left| z\right|
<\infty}\)
d) \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{1-z} - \frac{1}{2-z}}\) w pierścieniu:
1. \(\displaystyle{ 0< \left| z\right| <1}\)
2. \(\displaystyle{ 1< \left| z\right| <2}\)
3. \(\displaystyle{ 2< \left| z\right| <\infty}\)
Niektóre prostsze przykłady potrafię rozwiązać sama, choć mam parę wątpliwości:
- jak rozwinąć \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) w pierścieniu: \(\displaystyle{ 3<\left| z\right| <\infty}\)
- jak rozwinąć \(\displaystyle{ - \frac{1}{z-1}}\) w pierścieniach: \(\displaystyle{ 0<\left| z-1\right| <1}\) i \(\displaystyle{ 1< \left| z-1\right| <\infty}\)
ale z większością szeregów nie daję sobie niestety rady - byłabym wdzięczna za każdą pomoc!