Rozwiązać rownanie zespolone

[gandalf_58]

Mam do rozwiazania takie rownanie zespolone:
\(\displaystyle{ z^{4} = \left( \frac{4+3i}{2-i} \right) ^{8} = \left( ... \right) = \left( 1+2i \right) ^{8}}\)
I wlasnie teraz nie wiem jak sie liczy \(\displaystyle{ \omega _{0}}\), ktora jest mi potrzebna do wyznaczenia pozostalych pierwiastkow (tzn zapisania ich w postaci wzoru de Moivre'a - chyba, ze to zadanie sie robi w inny sposob ******).

Czy ponizsze rozumowanie jest dobre?
Zastanawiam sie, czy moge zrobic: \(\displaystyle{ z^{4} = \left( 1+2i \right) ^{8} \Rightarrow z= \left( 1+2i \right) ^{2} = -3+4i}\) . \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)Ten moment budzi moje najwieksze watpliwosci
Wowczas 2 pierwiastek to bedzie sprzezenie \(\displaystyle{ -3-4i}\), ale pierwiastkow ma byc 4, wiec jak policzyc pozostale 2? Czy jak mam ten pierwszy czyli \(\displaystyle{ -3+4i}\) to sie uzyskuje drugi przez pomnozenie przez \(\displaystyle{ i}\), potem przez \(\displaystyle{ i^{2}}\), a na koncu przez \(\displaystyle{ i^{3}}\) ?


*****Modul liczby zespolonej mi wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt5}\), ale jak sobie przed nawias wyciagne to mam \(\displaystyle{ \sin x= \frac{1}{\sqrt5}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x= \frac{2}{\sqrt5}}\), a taki kat \(\displaystyle{ \alpha}\) nie istnieje (wiec tu jest zle, ale nie mam pojecia co).

ZADANIE 2
Ewentualnie jak ktos nie do konca potrafi mi wytlumaczyc ta \(\displaystyle{ \omega _{0}}\) to moze na przykladzie \(\displaystyle{ z^{3} = \left( \frac{3+5i}{1+i} \right) ^{6} = \left( ... \right) = \left( 4+i \right) ^{6}}\). Tutaj \(\displaystyle{ \omega _{0}}\) wyszla 1, ale nie rozumiem, dlaczego uogolniona omega tj \(\displaystyle{ \omega _{k} = \sqrt[3]{1} \cdot \left( \cos \frac{0+2k\pi }{3} + i\sin \frac{0+2k\pi }{3} \right)}\)
Czyli do tego zadania pytania mam 2:
1. Dlaczego jest ten pierwiastek z \(\displaystyle{ 1}\) a nie np \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{17}}\)
2. Dlaczego kat \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ z^4-a^8=(z^2-a^4)(z^2+a^4)=(z-a^2)(z+a^2)(z-ia^2)(z+ia^2)}\)

Zad 2.
Wstaw za k liczby 0,1,,2 itd i zobaczysz że wyxhodzą tylko trzy rozwiązania. Lepiej zamiast omega indeksować niewiadomą zet.

[gandalf_58]

\(\displaystyle{ z^4-a^8=(z^2-a^4)(z^2+a^4)=(z-a^2)(z+a^2)(z-ia^2)(z+ia^2)}\)

Zad 2.
Wstaw za k liczby 0,1,,2 itd i zobaczysz że wyxhodzą tylko trzy rozwiązania. Lepiej zamiast omega indeksować niewiadomą zet.

ZAD 1 => Rany faktycznie, nie pomyslalem o tym, gratuluje.
Mozesz mi jeszcze wytlumaczyc, dlaczego w zadaniu 2 \(\displaystyle{ \omega_{0}}\) = 1 ? Generalnie jak ja policzyc?

[kerajs]

Jest 1 bo ktoś żle policzył moduł. (Kąt też jest do bani)

[gandalf_58]

Moglbys rozwinac? Tzn ile bedzie modul i jakie \(\displaystyle{ \alpha}\)

[kerajs]

Proponuję takie rozwiązanie
\(\displaystyle{ z ^3 =a^6}\)
\(\displaystyle{ z ^3 =1 \cdot a^6}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{1} \cdot a^2}\)

Pierwiastek z jeden rozwiąż jako pierwiastek z liczby zespolonej.

Ps. Przy okazji wyjaśni się skąd masz taką omegę w tym zadaniu.