Zbadać zbieżność szeregu

[SPQR_94]

Mam do zbadania zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2-i}{3} \right)^{n^{2}}}\). Jakieś wskazówki?

[a4karo]

jaki jest moduł liczby w nawiasie?

[SPQR_94]

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \frac{ \sqrt{5} }{3}}\)
Czyli mogę zrobić coś takiego jak w ciągach, że jeśli \(\displaystyle{ \left| z\right| = \frac{ \sqrt{5} }{3}}\), to \(\displaystyle{ \left| z\right|^{n^{2}} \rightarrow 0}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), więc cały szereg jest zbieżny?

[a4karo]

Nie, zbieżność wyrazu do zera nie oznacza zbieżności szeregu. Ale ponieważ \(\displaystyle{ |z|<1}\) możesz pokazać zbieżnośc bezwzględną (a zatem zbieżność) korzystając z kryterium porównawczego (\(\displaystyle{ |z|^{n^2}<|z|^n}\))

[SPQR_94]

Okej, rozumiem - i dziękuję za rozwiązanie
A czy moje rozumowanie jest poprawne w poniższym podpunkcie?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n\left( 3i-1\right)^{n} }{5^{n}} \right) \\ a _{n+1} = \left( n+1\right)\left( \frac{3i-1}{5} \right)^{n} \cdot \frac{3i-1}{5} \\ a _{n} = \frac{n\left( 3i-1\right)^{n} }{5^{n}} \\ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{n+1}{n} \cdot \frac{3i-1}{5} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{n+1}{n} \right| \cdot \frac{ \sqrt{9+1} }{5} = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{n\left( 1+ \frac{1}{n} \right) }{n} \right| \cdot \frac{ \sqrt{10} }{5} = \frac{ \sqrt{10} }{5} < 1}\)
co oznacza zbieżność na mocy kryterium d' Alamberta? Podobny przykład miałam na wykładach i nie wiem, czy mogę tego sposobu użyć w tym wypadku...

[a4karo]

tak. (popraw TeXa, bo cos się rozjechało).

[SPQR_94]

Właśnie zauważyłam i już poprawiłam Dziękuję za pomoc!

-- 25 sie 2014, o 21:25 --

A co z takim przypadkiem?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^{n}}{n}}\)-- 25 sie 2014, o 22:47 --Poproszę jeszcze o wskazówki do tych podpunktów, jeśli ktoś chociaż mi potrafi powiedzieć, z jakiego kryterium mogłabym je zrobić byłabym niezmiernie wdzięczna!
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3-2i}{1+ \sqrt{n} } \right) \\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!\left( e-i\right)^{n} }}\)

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ 25.08}\)Rozważ przypadki \(\displaystyle{ n=4k+1,2,3,0}\)

[a4karo]

Niech \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n\frac{i^k}{k}}\). Pokaż, że ciąg \(\displaystyle{ S_{4n}}\) jest zbieżny i że \(\displaystyle{ |S_{4\lfloor n/4\rfloor}-S_n|\to 0}\).

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3-2i}{1+ \sqrt{n} } \right) =(3-2i)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+ \sqrt{n} }}\)

Wskazowka do 3: d'Alembert

[rafalpw]

A co z takim przypadkiem?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^{n}}{n}}\)

Proponuję zastosować kryterium Dirichleta.

[SPQR_94]

Dziękuję za pomoc, wszystkie przykłady już rozwiązane