Część urojona liczby zespolonej

[Poszukujaca]

Proszę o sprawdzenie, czy moja metoda jest poprawna. Ewentualnie wskazanie błędów w rozumowaniu i pomoc w dojściu do prawidłowego rozwiązania.

Mam taką nierówność.

\(\displaystyle{ Im \left[ \frac{z+4i}{(i+1)z}\right] \le -1}\)

Liczbę zespoloną z oznaczam sobie: \(\displaystyle{ z=x+iy}\)

Wstawiam w takiej postaci do mojej nierówności. Na chwilę pomijam oznaczenie części urojonej i liczę tylko to, co jest w środku.

\(\displaystyle{ \frac{x+iy+4i}{(i+1)(x+iy)}=\frac{x+i(y+4)}{ix+i^{2}y+x+iy}=\frac{x+i(y+4)}{(x-y)+i(x+y)}=\frac{[x+i(y+4)] \cdot [(x-y)-i(x+y)]}{(x-y)^{2}+(x+y)^{2}}=\frac{x^{2}-ix^{2}-iy^{2}-4iy+4ix+4x+y^{2}+4y}{2x^{2}+2y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}+4x+4y-i(x^{2}+y^{2}+4y+4x)}{2x^{2}+2y^{2}}}\)

Teraz biorę tylko część urojoną z tej liczby i tworzę nierówność:

\(\displaystyle{ -\frac{x^{2}+y^{2}+4y+4x}{2x^{2}+2y^{2}} \le -1}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le 4(x+y)}\)

Rozwiązaniem tej nierówności w układzie współrzędnych jest koło. I właśnie chyba coś się tutaj nie zgadzam bo wydaje mi się, że nie powinno tak wyjść.

[Lider_M]

Na początku brakuje założenia co do dziedziny.

Wolframowi wychodzi, że w liczniku jest \(\displaystyle{ -x^2+4x-y^2-4y}\), więc nadal koło wychodzi.

[Poszukujaca]

Czyli wygląda na to, że gdzieś machnęłam się w obliczeniach, bo zamiast \(\displaystyle{ -4x}\) wyszło \(\displaystyle{ 4x}\). A czy ogólna metoda jest dobra?

[Lider_M]

Tak, metoda w porządku.

[Poszukujaca]

Jeszcze mam pytanie odnośnie obliczania argumentu liczb zespolonych.

Proszę o sprawdzenie, czy moja metoda jest dobra.

Mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi \le Arg\left[ \frac{iz^{2}}{1-\sqrt{3}i}\right] \le \frac{11}{6}\pi}\)

Wykorzystuję wzory:

\(\displaystyle{ Arg\left( \frac{z_{1}}{z_{2}}\right) =Arg z_{1}-Arg z_{2} +2k\pi}\)

\(\displaystyle{ Arg(z_{1} \cdot z_{2})=Arg z_{1}+Arg z_{2} +2k\pi}\)

\(\displaystyle{ Arg z^{n} = n Arg z + 2k\pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi \le Arg i +2 Arg z -Arg(1-\sqrt{3}i) + 6k\pi \le \frac{11}{6} \pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi \le \frac{\pi}{2} + 2 Arg z -\frac{7}{4}\pi +6k\pi \le \frac{11}{6} \pi}\)

Czy do tego momentu jest dobrze?

[kerajs]

Zamiast \(\displaystyle{ k6 \pi}\) powinno być \(\displaystyle{ k2 \pi}\)


Przy kącie iloczynu Latek żle wyświetlił wzór.

[Poszukujaca]

Czy nie ma znaczenia ile razy korzystam ze wzorów?

[kerajs]

Nie, bo:

* \(\displaystyle{ \frac{iz^{2}}{1-\sqrt{3}i}=A(\cos \alpha +i \sin \alpha )}\) a tu okresem jest \(\displaystyle{ 2 \pi}\)

* \(\displaystyle{ k2 \pi +l2 \pi -m2 \pi =(k+l-m)2 \pi =k ^{'}2 \pi}\)

[Poszukujaca]

Teraz poprawiłam. Pojawia się jeszcze dylemat, jakie wartości \(\displaystyle{ k}\) mogę dobrać na końcu, by otrzymać ostateczne przedziały kątów, które będą rozwiązaniem.

\(\displaystyle{ Arg z \ge \frac{31\pi-24k\pi}{24} \wedge Arg z \le \frac{37\pi-24k\pi}{24}}\)

jak wezmę \(\displaystyle{ k=0}\), to otrzymam przedział:

\(\displaystyle{ Arg z \in \left[ \frac{31\pi}{24},\frac{37\pi}{24}\right]}\)

Czy dobrze myślę, że jak wezmę [tex[ k=1 [/latex], to nierówność nie będzie prawdziwa, więc ostatecznym rozwiązaniem jest jeden przedział kątów i półpłaszczyzna?

[kerajs]

Twoje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{31\pi-24k\pi}{24} \le Arg z \le \frac{37\pi-24k\pi}{24}}\)
można uprościć
\(\displaystyle{ \frac{31\pi}{24}+k \pi \le Arg z \le \frac{37\pi}{24}+k \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{24}+k \pi \le Arg z \le \frac{13\pi}{24}+k \pi}\)
co daje powtarzające sie okresowo (w okresie \(\displaystyle{ 2 \pi}\) )dwa przedziały
\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{24}+k 2\pi \le Arg z \le \frac{13\pi}{24}+k 2\pi \vee \frac{31\pi}{24}+k 2\pi \le Arg z \le \frac{37\pi}{24}+k 2\pi}\)

Jeśli przeszkadza Ci stałe używanie k to zamieniaj go na np: k', k"

Czy dobrze myślę, że jak wezmę \(\displaystyle{ k=1}\), to nierówność nie będzie prawdziwa, więc ostatecznym rozwiązaniem jest jeden przedział kątów i półpłaszczyzna?

Będą dwa wycinki płaszczyznyograniczone półprostymi wychodzącymi z początku układu współrzednych.

[Poszukujaca]

A dlaczego zamieniliśmy \(\displaystyle{ -k\pi}\) na \(\displaystyle{ k\pi}\)?

Nie bardzo rozumiem dlaczego akurat te dwa przedziały.

[kerajs]

A dlaczego zamieniliśmy \(\displaystyle{ -k\pi}\) na \(\displaystyle{ k\pi}\)?

To taki mój nawyk aby nie wstawiać i na boku nie definiować nowej całkowitej stałej.
Oczywiście możesz za każdym razem przyjmować nowa stałą k', k", m, n itd. ' co jednak nie wpływa na wyniki obliczeń.
Z tą sytuacją możliwe że się spotkasz na równaniach różniczkowych gdzie czasem pisze się takie ,,niematematyczne'' przejścia miedzy stałymi \(\displaystyle{ C=\ln C= e^C}\)

Nie bardzo rozumiem dlaczego akurat te dwa przedziały.

To moja wina. Zamiast rozwiązać zadanie bazowałem na Twojej odpowiedzi

\(\displaystyle{ Arg z \ge \frac{31\pi-24k\pi}{24} \wedge Arg z \le \frac{37\pi-24k\pi}{24}}\)

i stąd te dwa przedziały



Zacznę może od początku

\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi \le Arg i +2 Arg z -Arg(1-\sqrt{3}i) + 6k\pi \le \frac{11}{6} \pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi \le \frac{\pi}{2} + 2 Arg z -\frac{7}{4}\pi +6k\pi \le \frac{11}{6} \pi}\)

Czy do tego momentu jest dobrze?

Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi \le \frac{\pi}{2} + 2 Arg z -\frac{5}{6}\pi +2k\pi \le \frac{11}{6} \pi}\)
co daje:
\(\displaystyle{ \frac{10}{12} \pi \le Arg z +k\pi \le \frac{13}{12} \pi}\)

Dla k=0 masz
\(\displaystyle{ \frac{10}{12} \pi \le Arg z \le \frac{13}{12} \pi}\)
Dla k=1 masz
\(\displaystyle{ \frac{-2}{12} \pi \le Arg z \le \frac{1}{12} \pi}\)


Dla k=2 masz
\(\displaystyle{ \frac{-14}{12} \pi \le Arg z \le \frac{-11}{12} \pi}\)
co jest dokładnie tym samym rozwiązaniem co przy k=0

Kolejnych k nie muszę już sprawdzać bo trafią w jedno z dwóch pierwszych rozwiązań.

[Poszukujaca]

Chwilka, bo coś mi tu nie pasuje.

\(\displaystyle{ Arg (1-\sqrt{3}i)= ?}\)

\(\displaystyle{ z=1-\sqrt{3}i}\)

\(\displaystyle{ |z|=2}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi =\frac{x}{|z|}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{y}{|z|}=\frac{-\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \frac{7}{4}\pi}\)

Gdzie tutaj jest błąd?

[kerajs]

Niech fi wynosi tyle ile sugerujesz. Wtedy:

\(\displaystyle{ \cos \frac{7}{4} \pi =\cos 315 ^{\circ} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \frac{7}{4} \pi =\sin 315 ^{\circ} =- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

I niestety to nie jest dobry kąt.

Narysuj sobie liczbę z na płaszczyźnie zespolonej (Arganda / Gaussa) i zobacz ile faktycznie wynosi szukany kąt.

Ps. Każdemu co pewien czas zdarza się taka prosta pomyłka.

[Poszukujaca]

Dzięki za pocieszenie

Po dokładnym przeanalizowaniu wykresów funkcji trygonometrycznych powiedziałabym teraz, że ten kąt to \(\displaystyle{ \frac{10}{6}\pi}\) dlaczego więc ma być \(\displaystyle{ \frac{5}{6}\pi}\)?

Na płaszczyźnie zespolonej widzę to samo. Nasza liczba znajduje lsię w czwartej ćwiartce.