Rozwiąż równania, wyznaczając niewiadome x i y

[dziurs93]

nie wiem jak zabrać sie do zadania.

\(\displaystyle{ \frac{6+i}{5+5i} = \frac{x+iy}{4-i}}\)

podzieliłem pierwszy ułamek wykorzystujac mnozenie przez sprzezenie \(\displaystyle{ \frac{6+i}{5+5i} = \frac{7}{10} }-{ \frac{1}{2}i }}\)

nie wiem jak przejsc do układu rownan i co zrobic z prawą stronąprzykładu pierwotnego.

jest to przykład nr 2 z 1 zad. domowego, lekcja 2, dział - liczny zespolone z etrapeza-- 21 sie 2014, o 18:45 --

[kalwi]

\(\displaystyle{ \frac{6+i}{5+5i} = \frac{x+iy}{4-i} \\ \\
\frac{6+i}{5+5i} \cdot ( 4-i )=x+iy}\)

Dojdź po lewej stronie do postaci \(\displaystyle{ a+ib}\) a następnie przyrównaj części rzeczywiste/urojone

[sebnorth]

powinno wyjść: \(\displaystyle{ x = 2.3, y = -2.7}\)

[dziurs93]

wyszedlem po lewej stronie (tak jak napisalem w pierwszym poscie), jak przyrownac postac a-ib do postaci ulamkowej? moze ktos rozwiazac cale po to zebym mogl na spokojnie dojsc co i jak?

[sebnorth]

pomnóż \(\displaystyle{ \frac{6+i}{5+5i} = \frac{7}{10} }-{ \frac{1}{2}i }}\) przez \(\displaystyle{ 4 - i}\) i się wszystko wyjaśni

[kalwi]

\(\displaystyle{ \frac{6+i}{5+5i} \cdot \left( 4-i\right)= \frac{24+4i-6i+1}{5+5i}= \frac{1}{5} \cdot \frac{25-2i}{1+i}= \frac{1}{10} \cdot \left( 25-2i\right) \cdot \left( 1-i\right)=\frac{1}{10} \cdot \left( 25-2i-25i-2\right)=\frac{1}{10} \cdot \left(23-27i \right)=2.3-2.7i=x+yi}\)

[dziurs93]

dzieki

[adam1993]

Sorry, że odkopuję, ale właśnie siedzę nad tym zadaniem i nie mogę go rozwiązać w żaden sposób. Nawet patrząc na to, co zrobił kolega kalwi nie bardzo rozumiem dwóch rzeczy:
1) Dlaczego mnożymy przez (4-i), a nie każdy ułamek przez liczbę sprzężoną?
2) U kolega kalwi po trzecim znaku równości \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) zmienia się na \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\), a liczba sprzężona do mianownika (1-i) pojawia się za nim. Skąd to się wzięło?

Edit: W jednym z kolejnych przykładów też utknąłem:
\(\displaystyle{ |x|+\bar{z}-z=3-4i}\)
Zaczynam od podstawienia:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^2}+x-iy-x+iy=3-4i}\)
Część wyrazów się redukuje, a po usunięciu pierwiastka zostaje mi:
\(\displaystyle{ x^{2}+y{2}=-7-24i}\)


Dziękuję za odpowiedzi

[kalwi]

1) bo tak wygląda równość: \(\displaystyle{ \frac{6+i}{5+5i} = \frac{x+iy}{4-i}}\) i będzie po prostu najwygodniej to przemnożyć przez \(\displaystyle{ 4-i}\), chociaż robiąc tak jak Ty napisałeś - też by dało radę, tylko że po co jechać z Warszawy do Zakopanego przez Gdańsk?

2) \(\displaystyle{ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1+i}= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(1+i)(1-i)} \cdot \left( 1-i\right)= \frac{1-i}{10}}\)-- 12 paź 2014, o 16:58 --

Edit: W jednym z kolejnych przykładów też utknąłem:
\(\displaystyle{ |x|+\bar{z}-z=3-4i}\)
Zaczynam od podstawienia:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^2}+x-iy-x+iy=3-4i}\)

1. chyba raczej \(\displaystyle{ |z|}\)
2. źle podstawiłeś
3. na pewno ten przykład dobrze przepisałeś?

[adam1993]

Ok, to poprawiam:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^2}+x-iy-x-iy=3-4i}\)
I zostaje mi tak, jak na wolframie napisałeś:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^2}-2iy=3-4i}\)
Po podniesieniu do kwadratu mam coś takiego:
\(\displaystyle{ x^{2}-3y^{2}=-7-24i}\)
Tak, przykład jest dobrze przepisany. W odpowiedziach mam, że
\(\displaystyle{ z = \sqrt{5}+2i \vee z=-\sqrt{5}+2i}\)

Jeszcze jedno...:
\(\displaystyle{ |z| + +\bar{z} = 8+ 4i}\)
Wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+x-iy=8+4i}\)
Tak jak Ty poprzednio mogę odczytać, że y=-4, ale nawet podstawiając to pod wzór nie chce mi wyjść dobry wynik. Prawdopodobnie robię błąd w potęgowaniu, bo po podniesieniu wychodzi mi:
\(\displaystyle{ x^{2}-4^{2}+x^{2}+4^{2}=64+64+16}\)
\(\displaystyle{ 2x^2=112}\) - pewnie wypisałem tu jakieś herezje, ale nie wiem kompletnie jak podnieść do kwadratu pierwszą część równania. Próbowałem to traktować jako dwa osobne nawiasy i każdy z nich potęgować wzorem skróconego mnożenia, ale nici z tego. Ma ktoś jakieś pomysły?

[kalwi]

Ślepy jestem.

\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^2}-2iy=3-4i}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \Im\left( \sqrt{x^{2}+y^2}-2iy\right) =\Im\left( 3-4i\right)}\)

Więc

\(\displaystyle{ -2y=-4 \Rightarrow y=2}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \sqrt{4+x^2}=3 \Rightarrow x= \pm \sqrt{5}}\)-- 12 paź 2014, o 22:30 --\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+16} =8-x \\ \\ x^2+16=x^2-16x+64}\)