Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór.

[SPQR_94]

Witam! Mam do rozwiązania następujące przykłady (polecenie jak w temacie):
1)\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: Re(iz^{6})=0 \right\}}\)
2)\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: z^{4}=-2\left( \overline{z}\right)^{2} \right\}}\)
3)\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: arg \frac{z+1}{i}= \frac{3 \pi }{2} \right\}}\)
4)\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: \left| \frac{4i-3}{3i-z} \right|>1 \right\}}\)
5)\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: arg(z+1) \le \frac{ \pi }{2} \right\}}\)
6)\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: Im\left( \frac{z}{z+2} \right)>0, \left| z+1-i\right|<2 \right\}}\)
7)\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: z^{6}+2i\left| z\right|^{6}=\left( \overline{z} \right)^{6} \right\}}\)
Każdy z nich próbowałam robić już na różne sposoby, ale w którymś momencie zatrzymuję się i nie wiem, co dalej :/ Na wykładach i ćwiczeniach robiliśmy o wiele prostsze przykłady, a tych po prostu nie daję rady zrobić.
Będę wdzięczna za wytłumaczenie któregokolwiek z podpunktów.

[miodzio1988]

pokaz jak liczysz, sprawdzimy, pokierujemy

[bartek118]

\(\displaystyle{ z=x+iy}\) i samo wyjdzie, niektóre można zrobić sprytniej

[SPQR_94]

\(\displaystyle{ z=x+iy}\) - tyle to sama wiem
np. 3) \(\displaystyle{ \left\{ z \in C: arg \frac{z+1}{i}= \frac{3 \pi }{2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{zi+i}{i^{2}} = \frac{ix+i^{2}y+i}{-1} = -ix+y-i = y-i \left( x+1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \Re=- \left( x+1 \right) , \Im=y}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \arctan \left( \frac{-x-1}{y} \right) , dla\ y>0}\)
\(\displaystyle{ \arctan \left( \frac{-x-1}{y} \right) = \frac{3 \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-x-1}{y}=\tg \frac{3 \pi }{2}}\)
i w tym miejscu już nie rozumiem, bo przecież \(\displaystyle{ \tg \frac{3 \pi }{2}}\) nie istnieje! Ten sam problem mam, jeśli chodzi o podpunkt 5)

Wzór na kąt wzięłam z tej strony:

[yorgin]

Niech \(\displaystyle{ u=z+1}\). Mamy

\(\displaystyle{ \arg\frac{z+1}{i}=\arg u-\arg i=\arg u-\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \arg u=2\pi\equiv 0}\)

a więc

\(\displaystyle{ u=x, x\geq 0}\)

czyli

\(\displaystyle{ z=u-1=x-1}\) dla \(\displaystyle{ x\geq 0}\)

Analogicznie można zrobić 5)

Do 1), 2) i 7) polecam postac wykładniczą liczby zespolonej.

[SPQR_94]

A więc podpunkt 2) i 5) możemy już wykreślić, dziękuję bardzo za pomoc - nie wpadłam na to, żeby zrobić podstawienie!
Natomiast jeśli chodzi o postać wykładniczą... Weźmy np. ten podpunkt:
\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: z^{4}=-2\left( \overline{z}\right)^{2} \right\} \\ r^{4}e^{4i\varphi}=-2r^{6}e^{-6i\varphi} \\ r^{4}=-2r^{6} \vee e^{4i\varphi}=e^{-6i\varphi} \\ r^{4}\left( 1+2r^{2}\right)=0 \\ r=0}\)
Mam nadzieję, że dobrze poradziłam sobie z pierwszym rozwiązaniem tego równania - nie wiem natomiast, jak rozwiązać ten warunek \(\displaystyle{ e^{4i\varphi}=e^{-6i\varphi}\)... Jeśli dobrze wyznaczyłam r, to i tak nie ma chyba sensu tego liczyć, bo jedynym rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ z=0}\), ale chciałabym dowiedzieć się, jak to liczyć, aby móc rozwiązać inne przykłady

[bartek118]

\(\displaystyle{ r^{4}e^{4i\varphi}=-2r^{6}e^{-6i\varphi} \\ r^{4}=-2r^{6} \vee e^{4i\varphi}=e^{-6i\varphi}}\)

To przejście jest fałszywe. Należy to zrobić w taki sposób:
\(\displaystyle{ r^{4}e^{4i\varphi}=-2r^{6}e^{-6i\varphi} \\
r^{4}e^{4i\varphi}+2r^{6}e^{-6i\varphi} = 0\\
r^4 \left( e^{4i\varphi} + 2r^2 e^{-6i\varphi}\right) = 0 \\
r^4 e^{-6i\varphi} \left( e^{10i\varphi} + 2r^2 \right) = 0}\)
Mamy \(\displaystyle{ e^{-6i\varphi} \neq 0}\), więc
\(\displaystyle{ r^4 e^{-6i\varphi} \left( e^{10i\varphi} + 2r^2 \right) = 0 \\
r^4 \left( e^{10i\varphi} + 2r^2 \right) = 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ r = 0}\) lub \(\displaystyle{ e^{10i\varphi} + 2r^2 = 0}\). Warunek \(\displaystyle{ r=0}\) daje \(\displaystyle{ z=0}\). Zajmijmy się teraz równaniem \(\displaystyle{ e^{10i\varphi} + 2r^2 = 0}\). Wynika z niego, że \(\displaystyle{ e^{10i\varphi}}\) jest liczbą rzeczywistą. Zatem \(\displaystyle{ 10\varphi = k \pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\). Wówczas \(\displaystyle{ \varphi = \frac{k \pi}{10}}\) oraz \(\displaystyle{ e^{k\pi i} + 2r^2 = 0}\). Zauważamy, że aby to równanie było spełnione, to \(\displaystyle{ e^{k\pi i} \leq 0}\), a stąd \(\displaystyle{ k}\) jest nieparzyste i wtedy \(\displaystyle{ e^{k\pi i} = -1}\), czyli \(\displaystyle{ 2r^2 = 1}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ r = \frac{\sqrt{2}}{2}}\), a \(\displaystyle{ k}\) jest postaci \(\displaystyle{ k=2 \ell +1}\) dla \(\displaystyle{ \ell \in \mathbb{Z}}\).

Trzeba tylko zebrać to do kupy Mam nadzieję, że nie ma pomyłki.

[SPQR_94]

Dziękuję za podanie rozwiązania Myślę, że teraz, gdy mam schemat, uda mi się rozpracować jeszcze 1) i 7) podpunkt. Ale mam małe pytanie - czy zawsze będzie tak, że potęga \(\displaystyle{ e}\) będzie równała się \(\displaystyle{ k \pi}\), czy to jakiś szczególny przypadek? Pytam, bo jedyną moją wiedzę na temat tego typu równań czerpię z eTrapeza, a najwidoczniej sposób tam podany jest całkowicie niewłaściwy :/-- 25 sie 2014, o 14:20 --Okej, mniej więcej już ogarnęłam dzięki Waszej pomocy większość przykładów, zostały mi jeszcze tylko podpunkty:
\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: \left| \frac{4i-3}{3i-z} \right|>1 \right\} // \left\{ z \in C: Im\left( \frac{z}{z+2} \right)>0, \left| z+1-i\right|<2 \right\}}\)
Ten pierwszy zaczęłam robić, ale w pewnym momencie nie mam pojęcia, jak ruszyć dalej, za to drugi... Pierwszego warunku nie umiem ruszyć za nic w świecie!