trzy pierwiastki

[mol_ksiazkowy]

Mając dane \(\displaystyle{ z=a+bi}\) obliczyć (w zależności od zmiennych \(\displaystyle{ a, b \in R}\)):
a) \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt{\overline{z}}}\)
c) \(\displaystyle{ \sqrt{-z}}\)

[a4karo]

W czym problem? Jak próbujesz to rozwiązywać?

[yorgin]

Szkic/idea:    

\(\displaystyle{ z=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cos\left(\arccos \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)+i\sin\left(\arccos\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\right)}\)

Potem wzór na pierwiastki:

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=\sqrt{|z|}\left(\cos\frac{\textrm{Arg} z+k\pi}{2}+i\sin\frac{\textrm{Arg}z+k\pi}{2}\right),\qquad k=0, 1}\)

Przydadzą się wzory

\(\displaystyle{ \left|\cos \frac{1}{2}x\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\qquad \left|\sin\frac{1}{2}x\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}}\)

Moduły eliminują znak wyrażenia, który dobiera się na podstawie przynależności \(\displaystyle{ z}\) do odpowiedniej ćwiartki.

Dużo zabawy, dużo przeliczeń. Ale idea jest łatwa.

[Dasio11]

Łatwiejsza metoda, którą ktoś umieścił na forum dawno temu...