Rownanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
darknet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 sty 2007, o 15:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rownanie

Post autor: darknet »

Witam
Mam zadanie:
"Obliczyc niewiadoma z z rownania:"

\(\displaystyle{ a)\qquad\ (i+3)z-2iz=5-4i}\)

\(\displaystyle{ b)\qquad\ z^3=\frac{{(1+i)}^3{(\sqrt{3}-i)}^4}{{(-1+i)}^5{(1+\sqrt{3}i)}^3}}\)

"Dla b) podac sens geometryczny"

Jak to zrobic ??
Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Rownanie

Post autor: przemk20 »

a)
\(\displaystyle{ (i+1)z-2iz=5-4i, \ \ \
zi + z - 2iz = 5-4i \\
z-iz = 5-4i, \ \ \ z(1-i) = 5-4i, \\
z = \frac{5-4i}{1-i} =\frac{(5-4i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} (5-4i)(1+i) \\
z=\frac{9}{2}+\frac{1}{2} i}\)

b) proponowalbym zamienic na postac trygonometryczna
Jopekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 9 maja 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edynburg
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 15 razy

Rownanie

Post autor: Jopekk »

\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{(\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4}+2k\pi))^{3}(2cis(\frac{5\pi}{6}+2k\pi))^{4}}{(\sqrt{2}cis(\frac{3\pi}{4}+2k\pi))^{5}(2cis(\frac{\pi}{3}+2k\pi))^{3}}}\)

Korzystamy z twierdzenia de moivra i własności cis'a i po serii krótkich przekształceń otrzymujemy:

\(\displaystyle{ z=1cis(\frac{-4\pi-12k\pi}{18})[\tex]
k \in C}\)


Dla k{0;1;2} otrzymujemy odpowiednio:

\(\displaystyle{ z=cis(\frac{-4\pi}{18})}\)
\(\displaystyle{ z=cis(\frac{-16\pi}{18})}\)
\(\displaystyle{ z=cis(\frac{-28\pi}{18})}\)

Co można przedstawić (interpretacja geometryczna) na płaszczyźnie Arganda:
ODPOWIEDZ