Zespolone - problem

[rudzimierz]

\(\displaystyle{ z^{3}-i=0}\)

Kompletnie nie mam pomysłu, pomożecie?

Pozdrawiam!

[Kaf]

Należy znaleźć wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ i}\). W tym celu zastosuj wzór de Moivre'a.

[Igor V]

Albo szybciej - rozłóż ze wzoru na różnicę trzecich potęg.

[Kaf]

Igor V, do tego trzeba znać przynajmniej jeden pierwiastek trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ i}\).

[Igor V]

To akurat nie jest problem

[Kaf]

Mógłbyś pokazać to?

[Igor V]

No po prostu "zgadujesz" że np: jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ z=-i}\)

[Kaf]

Myślałem, że masz na myśli jakąś efektywną i efektowną metodę działającą w ogólności.

[rudzimierz]

Chyba pojąłem, ten "z" mnie przestraszył Gdyby zadanie wyglądało tak: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}=?}\), to nie zastanawiałbym się ani chwili

[Igor V]

Nie, nie miałem Warto sobie chyba ułatwiać życie ,nie ? W wielu innych przypadkach by tak nie poszło (o czym zapewne myślisz) i trzeba by od razu stosować wzór de Moivre'a.Jednak tutaj od razu "widać" przynajmniej jeden pierwiastek ,więc warto by było sobie trochę przyspieszyć.

[Hydra147]

Poza tym skoro znalazłeś już jeden pierwiastek \(\displaystyle{ z_{1}=-i}\) to z tw. Bezout możesz wielomian po lewej podzielić przez \(\displaystyle{ z+i}\) otrzymując proste równanie kwadratowe \(\displaystyle{ z^2-iz-1=0}\).