wątpliwość liczby zespolone

[rozprzedstud]

Za wikipedią - Dla dodatniej liczby całkowitej n pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej x nazywa się dowolną liczbę r spełniającą równość \(\displaystyle{ r^n = x}\)

A z drugiej strony w jednej książce znalazłem coś takiego \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-27}=\left\{ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,-3,\frac{3}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}i\right\}}\)

I nie bardzo rozumiem - dowolna liczba spełniająca równość jest pierwiastkiem z danej liczby zespolonej i zarazem zbiorem wszystkich takich liczb? O co tutaj chodzi?

[Hydra147]

Równość \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-27}=\left\{ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,-3,\frac{3}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}i\right\}}\) jest oczywiście nieprawdziwa, gdyż \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-27}=-3}\). Ważna jest różnica pomiędzy pierwiastkiem arytmetycznym, a zespolonym. Definicję pierwiastka zespolonego podałeś już wyżej. Łatwo zauważyć że każda liczba zespolona \(\displaystyle{ z \neq 0}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia. Dlatego jeżeli chcesz wyciągnąć pierwiastek zespolony z jakiejś liczby to musisz podać pełen ich zbiór. Pierwiastek arytmetyczny zaś jest wyznaczony w sposób jednoznaczny i można go wyciągać tylko z liczb rzeczywistych nieujemnych (sam również jest nieujemny).

[Kacperdev]

A z drugiej strony w jednej książce znalazłem coś takiego \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-27}=\left\{ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,-3,\frac{3}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}i\right\}}\)

Naprawdę coś takiego znalazłeś w książce? Jakiej?
Ta równość nie tyle co jest nieprawdziwa, co po prostu bez sensu. Nie można przyrównywać zbioru do liczby.

[Borneq]

To jak zapisać że liczba ma trzy pierwiastki?

[a4karo]

\(\displaystyle{ \{z: z^3=-27\}=\left\{ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,-3,\frac{3}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}i\right\}}\)

[rozprzedstud]

Znalazłem w książce dr Jurlewicz i dr Skoczylasa.

[Borneq]

A funkcja pierwiastek to zawsze jedna liczba?

[Hydra147]

Pierwiastek arytmetyczny-tak.