Wyznaczyc z definicji transforamtę Laplace'a...
a) \(\displaystyle{ f(t)=e^{3t}}\) dla z: Rez>3
b)\(\displaystyle{ f(t)=cost}\) dla z:Rez>0
transformata Laplace'a
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
transformata Laplace'a
ad.a
\(\displaystyle{ f(t)=e^{3t}}\) dla \(\displaystyle{ \Re z >3}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}[e^{3t}]=\int\limits_{3}^{\infty}e^{3t}\cdot e^{-zt} \ dt=\frac{1}{3-z}(e^{(3-z)t}|^{\infty}_{3}=\frac{e^{9-3z}}{z-3}}\)
,bo:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty} e^{(3-z)t}=\lim_{t\to\infty} e^{(3-\Re z)t}=0}\)
ad.b
Niech:
\(\displaystyle{ \Re z>0}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}[e^{\alpha t}]=\int\limits_{0}^{\infty}e^{\alpha t}\cdot e^{-zt} \ dt=\frac{1}{\alpha -z}(e^{(\alpha-z)t}|_0^{\infty})=\frac{1}{z-\alpha}}\)
Wiemy,ze :
\(\displaystyle{ \cos{t}=\frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}[\cos{t}]=\mathcal{L}[\frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it})]=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty}(e^{it}+e^{-it})\cdot e^{-zt} \ dt=\\=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty}e^{it}\cdot e^{-zt} \ dt + \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-it}\cdot e^{-zt} \ dt=\frac{1}{2}\mathcal{L}[e^{it}]+\frac{1}{2}\mathcal{L}[e^{-it}]=\frac{z}{z^2+1}}\)
\(\displaystyle{ f(t)=e^{3t}}\) dla \(\displaystyle{ \Re z >3}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}[e^{3t}]=\int\limits_{3}^{\infty}e^{3t}\cdot e^{-zt} \ dt=\frac{1}{3-z}(e^{(3-z)t}|^{\infty}_{3}=\frac{e^{9-3z}}{z-3}}\)
,bo:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty} e^{(3-z)t}=\lim_{t\to\infty} e^{(3-\Re z)t}=0}\)
ad.b
Niech:
\(\displaystyle{ \Re z>0}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}[e^{\alpha t}]=\int\limits_{0}^{\infty}e^{\alpha t}\cdot e^{-zt} \ dt=\frac{1}{\alpha -z}(e^{(\alpha-z)t}|_0^{\infty})=\frac{1}{z-\alpha}}\)
Wiemy,ze :
\(\displaystyle{ \cos{t}=\frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}[\cos{t}]=\mathcal{L}[\frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it})]=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty}(e^{it}+e^{-it})\cdot e^{-zt} \ dt=\\=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty}e^{it}\cdot e^{-zt} \ dt + \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-it}\cdot e^{-zt} \ dt=\frac{1}{2}\mathcal{L}[e^{it}]+\frac{1}{2}\mathcal{L}[e^{-it}]=\frac{z}{z^2+1}}\)
Ostatnio zmieniony 26 maja 2007, o 11:52 przez kuch2r, łącznie zmieniany 1 raz.
-
tommy007
- Użytkownik
- Posty: 180
- Rejestracja: 25 gru 2006, o 13:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 100 razy
transformata Laplace'a
Dlaczego w ostatniej linijce -zt zostało zamienione na -iz, a potem w ogóle opuszczone??