Liczbę zespoloną przedstaw w postaci trygonometrycznej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Liczbę zespoloną przedstaw w postaci trygonometrycznej

Post autor: kerajs »

Teraz mianownik przedstaw w postaci trygonometrycznej (lub wykładniczej)
\(\displaystyle{ 1+i= \sqrt{2} \left( \cos \frac{ \pi }{4} +i \sin \frac{ \pi }{4}\right)}\)
stąd ułamek
\(\displaystyle{ \frac{ -\sqrt{2} }{1+i} = \frac{ -\sqrt{2} }{\sqrt{2} \left( \cos \frac{ \pi }{4} +i \sin \frac{ \pi }{4}\right)} = \frac{-1}{ \left( \cos \frac{ \pi }{4} +i \sin \frac{ \pi }{4}\right)} = \frac{\cos \pi +i \sin \pi }{ \left( \cos \frac{ \pi }{4} +i \sin \frac{ \pi }{4}\right)} =\left( \cos \frac{ 3\pi }{4} +i \sin \frac{3\pi }{4}\right)}\)
Podnosząc do setnej potegi zastosuj wzór de Moivra
logic13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 5 sty 2010, o 10:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 6 razy

Liczbę zespoloną przedstaw w postaci trygonometrycznej

Post autor: logic13 »

A skąd się wzięło \(\displaystyle{ \cos\frac{ \pi }{4}}\)?
Ostatnio zmieniony 1 lip 2014, o 02:23 przez leszczu450, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

Liczbę zespoloną przedstaw w postaci trygonometrycznej

Post autor: waliant »

z definicji postaci trygonometrycznej, taki kąt tworzą wektory \(\displaystyle{ 1+i}\) oraz dodatnia część osi części rzeczywistej.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Liczbę zespoloną przedstaw w postaci trygonometrycznej

Post autor: kerajs »

Liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=a+bi}\) można przedstawić w postaci trygonometrycznej jako
\(\displaystyle{ z=|z| \left( \cos\varphi+i \sin\varphi \right)}\)
gdzie: \(\displaystyle{ |z|}\) moduł liczby zespolonej, \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
Dla kąta zachodzi zależnośc:
\(\displaystyle{ \tan \varphi = \frac{b}{a}}\)

Najlepiej na płaszczyźnie Gaussa zaznaczyć sobie dany punkt. Moduł to odległaść tego punktu od środka układu, a kąt jest między tą odległościa a dodatnią półosią liczb rzeczywistych.

Wzór de Moivre'a
\(\displaystyle{ z^{n}=|z|^{n} \left( \cos \left( n \varphi \right) +i \sin \left( n \varphi \right) \right)}\)

np:
\(\displaystyle{ \left[ 1\left( \cos \frac{3 \pi }{4} +i\sin \frac{3 \pi }{4} \right) \right] ^{100} =1^{100}\left( \cos \frac{300 \pi }{4} +i\sin \frac{300 \pi }{4} \right)=\cos 75 \pi +i\sin 75 \pi = \cos \pi +i\sin \pi =-1}\)
ODPOWIEDZ