Obliczyć \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{1 - \sqrt{2} }}\).
\(\displaystyle{ z = 1 - \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{2} - 1}\)
\(\displaystyle{ \phi = \pi + 2k \pi}\), \(\displaystyle{ k \in Z}\)
\(\displaystyle{ z_0 = \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_1 = \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = -\sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
\(\displaystyle{ z_2 = \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1} \left( \cos \frac{5 \pi}{3} + i \sin \frac{5 \pi}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ \Re z_0 = \Re z_2 = \frac{1}{2} \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
\(\displaystyle{ \Re z_1 = -\sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
Wolfram ogólnie podaje, że \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{1 - \sqrt{2} } = \frac{1}{2} \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
Potrzebuję znać \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{1 - \sqrt{2} }}\) aby obliczyć pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^3 + 3x - 2 = 0}\). Czy dobrze liczę?
część rzeczywista liczby zespolonej
-
Toskan
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 6 sty 2014, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
część rzeczywista liczby zespolonej
No dobrze. Czyli można liczbę \(\displaystyle{ z}\) zapisać w takiej postaci co nie zmienia faktu, że otrzymałem dwie różne części rzeczywiste z tej liczby. Czy obie są poprawne?
Równanie \(\displaystyle{ x^3 + 3x - 2 = 0}\) rozwiązuję sposobami podanymi w książce Krysicki, Włodarski, czyli:
\(\displaystyle{ \Delta = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2}\)
W tym przykładzie otrzymam: \(\displaystyle{ \Delta >0}\)
Następnie oznaczenia: \(\displaystyle{ U = - \frac{q}{2} - \sqrt{\Delta} \quad \quad \quad V = - \frac{q}{2} + \sqrt{\Delta} \quad \quad \quad u = \Re \sqrt[3]{U} \quad \quad \quad v = \Re \sqrt[3]{V}}\)
Pierwiastki:
\(\displaystyle{ x_1 = u + v \quad \quad \quad x_2 = \epsilon u + \epsilon ^2 v \quad \quad \quad x_3 = \epsilon ^2 u + \epsilon v}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon = \frac{-1 -i \sqrt{3} }{2} \quad \quad \quad \epsilon ^2 = \frac{-1 + i \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 2 > 0 \quad \quad \quad U=1 - \sqrt{2} \quad \quad \quad V = 1 + \sqrt{2}}\)
I Napotykam trudność przy \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{U} = \Re \sqrt[3]{1 - \sqrt{2}}}\)
Jeżeli rozważyć dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{U} = - \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
2) \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{U} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
To dla pierwszego otrzymuję poprawne pierwiastki równania postaci:
\(\displaystyle{ x_1 = \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1} - \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
\(\displaystyle{ x_2 = \frac{\sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1} - \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1}}{2} + \frac{i \sqrt{3} }{2} \cdot \left( \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1} + \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}\right)}\)
\(\displaystyle{ x_3 = \frac{\sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1} - \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1}}{2} - \frac{i \sqrt{3} }{2} \cdot \left( \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1} + \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}\right)}\)
Wolfram w ogólności podaje jednak, że \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{U} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\) co nie pozwala mi na poprawne wyznaczenie pierwiastków opisanymi metodami w książce.
Równanie \(\displaystyle{ x^3 + 3x - 2 = 0}\) rozwiązuję sposobami podanymi w książce Krysicki, Włodarski, czyli:
\(\displaystyle{ \Delta = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2}\)
W tym przykładzie otrzymam: \(\displaystyle{ \Delta >0}\)
Następnie oznaczenia: \(\displaystyle{ U = - \frac{q}{2} - \sqrt{\Delta} \quad \quad \quad V = - \frac{q}{2} + \sqrt{\Delta} \quad \quad \quad u = \Re \sqrt[3]{U} \quad \quad \quad v = \Re \sqrt[3]{V}}\)
Pierwiastki:
\(\displaystyle{ x_1 = u + v \quad \quad \quad x_2 = \epsilon u + \epsilon ^2 v \quad \quad \quad x_3 = \epsilon ^2 u + \epsilon v}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon = \frac{-1 -i \sqrt{3} }{2} \quad \quad \quad \epsilon ^2 = \frac{-1 + i \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 2 > 0 \quad \quad \quad U=1 - \sqrt{2} \quad \quad \quad V = 1 + \sqrt{2}}\)
I Napotykam trudność przy \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{U} = \Re \sqrt[3]{1 - \sqrt{2}}}\)
Jeżeli rozważyć dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{U} = - \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
2) \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{U} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
To dla pierwszego otrzymuję poprawne pierwiastki równania postaci:
\(\displaystyle{ x_1 = \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1} - \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\)
\(\displaystyle{ x_2 = \frac{\sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1} - \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1}}{2} + \frac{i \sqrt{3} }{2} \cdot \left( \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1} + \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}\right)}\)
\(\displaystyle{ x_3 = \frac{\sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1} - \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1}}{2} - \frac{i \sqrt{3} }{2} \cdot \left( \sqrt[3]{ \sqrt{2} + 1} + \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}\right)}\)
Wolfram w ogólności podaje jednak, że \(\displaystyle{ \Re \sqrt[3]{U} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{ \sqrt{2} - 1}}\) co nie pozwala mi na poprawne wyznaczenie pierwiastków opisanymi metodami w książce.