całka z liczbą urojoną

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
tommy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 180
Rejestracja: 25 gru 2006, o 13:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 100 razy

całka z liczbą urojoną

Post autor: tommy007 »

obliczyć \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\Pi}e^{it}dt}\) przez podstawienie i jako sumę całek częsci rzeczywistej i urojonej...
Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

całka z liczbą urojoną

Post autor: przemk20 »

zauwazmy ,ze;
\(\displaystyle{ e^{it} = \cos t+i \sin t \\
t_0^{\pi} \cos t dt+ i t_0^{\pi} sin t dt = [\sin t]_0^{\pi} -i [\cos t]_0^{\pi} = 2 i}\)

Albo przez podstawienie, t = -ix, dt = -idx
\(\displaystyle{ -i\int_0^{i\pi}e^{x}dx =[e^x]_0^{i\pi}-i(e^{i\pi}-e^0) =-i(-1-1)=2i}\)
tommy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 180
Rejestracja: 25 gru 2006, o 13:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 100 razy

całka z liczbą urojoną

Post autor: tommy007 »

hmm a dlaczego górną granicą całki staje się \(\displaystyle{ i*\Pi}\)?
przecież t=-ix, więc x=\(\displaystyle{ \frac{t}{-i}}\)....
P.S: Dzięki Twojemu podpisowi zauważyłem dlaczego \(\displaystyle{ e^{i\Pi}=-1}\)
Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

całka z liczbą urojoną

Post autor: przemk20 »


no tak; ale
\(\displaystyle{ \frac{t}{-i} = \frac{it}{-i^2} = \frac{it}{-(-1)} = it}\)
tommy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 180
Rejestracja: 25 gru 2006, o 13:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 100 razy

całka z liczbą urojoną

Post autor: tommy007 »

po raz kolejny dzięki
ODPOWIEDZ