Nierówność z liczbami zespolonymi.

[k90amil]

Jak dowieść, że
\(\displaystyle{ \left|{{k+i\alpha}\over{1+i\alpha}}\right|\le k,\ k=2,3,\ldots,\ \alpha\in\mathbb{R}.}\)

[a4karo]

Pomnóż przez mianownik i skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ |z|^2=z\overline{z}}\)

[k90amil]

Chodzi Ci o to
\(\displaystyle{ {{(k+i\alpha)(1-i\alpha)}\over{|1+i\alpha|^2}}={{(k+i\alpha)(1-i\alpha)}\over{1+\alpha^2}}}\) ?

[a4karo]

O coś więcej: O to, że tak naprawdę masz udowodnić \(\displaystyle{ |k+i\alpha|\leq k|1+i\alpha|}\) lub, równoważnie
\(\displaystyle{ (k+i\alpha)(k-i\alpha)\leq k^2(1+i\alpha)(1-i\alpha)}\).

[k90amil]

Dzięki Twojej pomocy rozwiązałem to tak

\(\displaystyle{ (k+i\alpha)(k-i\alpha)\leq k^2(1+i\alpha)(1-i\alpha),}\)

\(\displaystyle{ |k+i\alpha|^2\leq k^2|1+i\alpha|^2,}\)

\(\displaystyle{ \alpha^2+k^2\leq k^2(\alpha^2+1),}\)

\(\displaystyle{ \alpha^2+k^2\leq k^2\alpha^2+k^2,}\)

\(\displaystyle{ \alpha^2\leq k^2\alpha^2,}\)

\(\displaystyle{ 1\leq k^2,}\)

\(\displaystyle{ 1\leq k.}\)

Proszę o sprawdzenie.

[a4karo]

A co tu sprawdzac:)?
Może tylko to, że \(\displaystyle{ 1\leq k^2}\) zachodzi również dla \(\displaystyle{ k\leq -1}\). Wyjaśnij dlaczego te rozwiązania trzeba odrzucić?

[k90amil]

Interesuje nas tylko dodatnia wartość \(\displaystyle{ k}\).