Część rzeczywista i urojona z liczby zespolonej

[btanreb]

Może ktoś sprawdzić czy poprawnie wyliczyłem część rzeczywistą i urojoną z liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z_{0} = \frac{2i \left( 1+i \right) }{3i- \sqrt{3} }}\)

\(\displaystyle{ \Re \left( z_{0} \right) = \frac{2 \cdot 0 \left( 1+0 \right) }{3 \cdot 0- \sqrt{3} } = \frac{0}{ \sqrt{3} } = 0}\)

\(\displaystyle{ \Im \left( z_{0} \right) = \frac{2 \cdot 1 \left( 0+1 \right) }{3 \cdot 1-0 } = \frac{2}{3}}\)

[matmatmm]

Niepoprawnie.

[kalwi]

nie tak się wylicza część rzeczywistą/urojoną. Doprowadź wyraz do postaci \(\displaystyle{ a+ib}\) (tj. \(\displaystyle{ a}\) nie zawiera żadnego wyrazu z liczbą urojoną, a \(\displaystyle{ b}\) zawiera współczynniki przy l.urojonej, przykładowo w taki sposób \(\displaystyle{ 5+3i+4\sqrt2 i +6 = 11 +i\left( 3+4\sqrt2 \right)}\)

[SidCom]

\(\displaystyle{ \Re{z_0}=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}\\
\Im{z_0}=\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{6}}\)

[btanreb]

Ktoś może rozpisać jak zrobić z tej liczby urojonej postać algebraiczną?
Bo nie mogę wpaść na pomysł, przeszkadza mi to 2i w liczniku.

[SidCom]

Pomnóż mianownik \(\displaystyle{ z_0}\) przez jego sprzężenie

[btanreb]

Tak też zrobiłem.
To w mianowniku będzie \(\displaystyle{ 9i ^{2} -3}\).

[SidCom]

A to Ty nie wiesz, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\) ?

[btanreb]

Nie wiem, wg mnie powinno być OK.
Re(z):

\(\displaystyle{ \frac{3+ \sqrt{3} }{6} + \frac{i(3-2 \sqrt{3}) }{6}}\)

[Kmitah]

Jeżeli dotychczasowe wyliczenia są poprawne, to masz:
\(\displaystyle{ \frac{3 + \sqrt{3} + 2\sqrt{3}i -6i}{6},}\)
jako że \(\displaystyle{ i^3 = i^2 i = - 1 \cdot i = - i}\).
I dalej, Twoja liczba jest równa:
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6}\right) + \left(\frac{2 \sqrt{3}}{6} - \frac{6}{6}\right)i}\).
Po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{3} - 1\right)i.}\)
To co masz w 'lewym' nawiasie, to część rzeczywista, zaś to, co w 'prawym' nawiasie, to część urojona.

[btanreb]

Może ktoś sprawdzić czy poprawnie wyliczyłem moduł:

\(\displaystyle{ z_{0} = \frac{ \sqrt{6} }{3}}\)