Układ równań

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Układ równań

Post autor: Poszukujaca »

Mam taki układ równań z liczbami zespolonymi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (1+i)\alpha_{1}+(2-i)\alpha_{2}+(-1+i)\alpha_{3}=0 \\ -2\alpha_{1}+2\alpha_{2}+i\alpha_{3}=0 \\ -i\alpha_{1}+i\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0 \end{cases}}\)

Jak go sprytnie rozwiązać?

Próbuje na wiele sposobów, ale nie mogę doprowadzić go do postaci, kiedy w dwóch równanniach będą dwie niewiadome..
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Układ równań

Post autor: SidCom »

Wzory Cramera pracują w dziedzinie liczb zespolonych
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Układ równań

Post autor: mortan517 »

Z drugiego i trzeciego wyznacz \(\displaystyle{ \alpha_{3}}\) i przyrównaj, wtedy uzyskasz zależność między dwoma pozostałymi niewiadomymi i wymienisz sobie w równaniach którąś.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Układ równań

Post autor: Poszukujaca »

Apropo równań Cramera, patrząc na nie mam wrażenie, że gdybyśmy ich używali, to wszystkie sprawdzane w ten sposób wektory byłyby liniowo niezależne.. A przecież tak nie może być..

Zgodnie z tymi wzorami, co mam tutaj:



jeżeli \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} j \\ k \\ l \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]}\)
to wszystkie wyznaczniki z liczników wzorów poniższych byłby równe zero, a co za tym idzie wszystkie szukane rozwiązania..

Nie czaje.-- 8 cze 2014, o 22:24 --mortan517, używając Twojego sposobu wyszło mi:

\(\displaystyle{ \alpha_{1}=\alpha_{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \alpha_{3}=0}\)
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Układ równań

Post autor: SidCom »

Nie wolno napisać, że \(\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2}\) chociaż prawdą jest, że \(\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2=0}\)

Mi wychodzi, że \(\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2= \alpha_3 = 0}\)
Ostatnio zmieniony 9 cze 2014, o 00:14 przez SidCom, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Układ równań

Post autor: mortan517 »

SidCom, czemu nie można tak napisać?

Po wstawieniu do pierwszego równania wychodzi: \(\displaystyle{ \alpha_{1}= \alpha_{2}= \alpha_{3}=0}\)
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Układ równań

Post autor: SidCom »

Weźmy dwie liczby:

\(\displaystyle{ z_1=a + bi}\) oraz \(\displaystyle{ z_2=-a - bi}\)

Ich suma równa się zero ale to dwie różne liczby zespolone

\(\displaystyle{ z_1+z_2=0 \text{ ale } z_1\ne z_2}\)
Ostatnio zmieniony 9 cze 2014, o 00:20 przez SidCom, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Układ równań

Post autor: mortan517 »

Nie rozumiem cię.

Jaka jest różnica w tym:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}= \alpha_{2}=0 \wedge \alpha_{3}=0}\)

A w tym:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}= \alpha_{2}= \alpha_{3}=0}\)
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Układ równań

Post autor: SidCom »

Dobra OK. W zadaniu nie ma bezpośredniego wynikania:

\(\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2=0 \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2}\)

Po prostu najpierw dostajemy, że \(\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2=0}\) a potem wychodzi, że \(\displaystyle{ \alpha_1=0
\wedge \alpha_2= 0}\)
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Układ równań

Post autor: mortan517 »

Więc już wszystko jasne.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Układ równań

Post autor: yorgin »

Poszukujaca pisze:Apropo równań Cramera, patrząc na nie mam wrażenie, że gdybyśmy ich używali, to wszystkie sprawdzane w ten sposób wektory byłyby liniowo niezależne.. A przecież tak nie może być..
Jakie wektory?
Poszukujaca pisze: to wszystkie wyznaczniki z liczników wzorów poniższych byłby równe zero, a co za tym idzie wszystkie szukane rozwiązania..
byłyby zerowe? Nie jest to prawdą. Jeżeli wyznacznik główny układu jest niezerowy, to wtedy wypisany na początku układ jednorodny ma tylko jedno rozwiązanie - rozwiązanie zerowe. I tyle wystarczy do znalezienia rozwiązania - stwierdzenie niezerowości wyznacznika głównego. Natomiast jeżeli jest zerowy, to Cramer nie działa - mamy wtedy nieskończenie wiele rozwiązań.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Układ równań

Post autor: Poszukujaca »

yorgin, układ, który napisałam, służy mi do sprawdzenia liniowej niezależności wektorów:

\(\displaystyle{ v_{1}=1+i,-2,-i) \\ v_{2}=(2-i,2,i) \\ v_{3}=(-1+i,i,2)}\)-- 9 cze 2014, o 12:42 --SidCom, mi wyszło, że \(\displaystyle{ \alpha_{1}=\alpha_{2}}\)
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Układ równań

Post autor: SidCom »

Wczoraj byłem zmęczony chyba. Trochę się zapętliłem.
Ze wzorami Cramera to miałem na myśli, że:

1. jak się spojrzy na ten układ - tzn. w każdym równaniu
występują wszystkie zmienne oraz
2. prawa strona jest zerem, to z tego

wynika natychmiast, że jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0}\)

To jest najsprytniejsze rozwiązanie i (dość szybkie).
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Układ równań

Post autor: Poszukujaca »

SidCom pisze: 1. jak się spojrzy na ten układ - tzn. w każdym równaniu
występują wszystkie zmienne oraz
2. prawa strona jest zerem, to z tego

wynika natychmiast, że jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0}\)

To jest najsprytniejsze rozwiązanie i (dość szybkie).
Dlaczego te warunki pociągają takie rozwiązanie?

nie rozumeim, tego sposobu myslenia..
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Układ równań

Post autor: mortan517 »

Gdy zapiszesz któryś z wyznaczników \(\displaystyle{ W_x, W_y}\) lub \(\displaystyle{ W_z}\) to przynajmniej jedna kolumna to same zera. Więc przy obliczaniu wyznacznika wyjdzie po prostu \(\displaystyle{ 0}\). Wystarczy tylko, żeby wyznacznik główny był różny od zera.
ODPOWIEDZ