W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania

[kitt94]

Witam,

mam problem z następującym podpunktem zadania:

d) \(\displaystyle{ (z + 2)^{2} = (\overline{z} + 2)^{2}}\)

Teoretycznie wynik wychodzi mi poprawny - \(\displaystyle{ x + = -2, y = 0}\), co oznacza \(\displaystyle{ Re\ z = -2}\) i \(\displaystyle{ Im\ z = 0}\). Zapisałbym to w sposób \(\displaystyle{ z = -2}\)

I tu się pojawia kłopot, bo wg. klucza odpowiedzi, powinienem zapisać to w sposób następujący:

\(\displaystyle{ Re\ z = -2}\) lub \(\displaystyle{ Im\ z = 0}\)

Prosiłbym o wytłumaczenie, dlaczego.

Pozdrawiam

[lukasz1804]

Oznaczmy \(\displaystyle{ x=Re\ z, y=Im\ z}\).
Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ (x+2+iy)^2=(x+2-iy)^2\iff (x+2)^2+2(x+2)yi=(x+2)^2-2(x+2)yi\iff (x+2)y=-(x+2)y\iff (x+2)y=0}\), więc \(\displaystyle{ Re\ z=-2}\) lub \(\displaystyle{ Im\ z=0}\) (iloczyn jest równy zeru gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru).

[kitt94]

Dziękuję bardzo za odpowiedź!

[yorgin]

Można też spierwiastkować stronami, dostając

\(\displaystyle{ z+2=\overline{z}+2 \vee -z-2=\overline{z}+2}\)

skąd

\(\displaystyle{ z-\overline{z}=0 \vee z+\overline{z}=-4}\)

i dalej

\(\displaystyle{ 2\Im z=0 \vee 2\Re z=-4}\)

i koniec zadania.