zbieżność bezwzględna szeregu

[gocha92]

Sprawdzić, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos ( \frac{n \pi }{6} ) +i \sin ( \frac{n \pi }{4} )}{ \sqrt{n} }}\)

Próbowałam np. z kryterium porównawczego znaleźć szereg rozbieżny o wyrazach mniejszych, oszacowałam funkcje trygonometryczne przez \(\displaystyle{ -1}\) i dostałam szereg \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{n} }}\) który jest rozbieżny jako szereg harmoniczny. Ale jakoś nie jestem pewna czy mogę zrobić takie oszacowanie (ze względu na pierwiastek).

[yorgin]

oszacowałam funkcje trygonometryczne przez \(\displaystyle{ -1}\)

Ok, ale...

i dostałam szereg \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{n} }}\)

To byłoby szacowanie górne, nie dolne.

szereg harmoniczny.

Ten nie jest harmoniczny, chyba że dodasz, jakiego stopnia.

Rozwiązanie polegać może na pokazaniu, że istnieje takie \(\displaystyle{ N}\) że nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n\geq 1}\) (niech będą one elementami zbioru \(\displaystyle{ A_N}\)) zachodzi:

\(\displaystyle{ |\cos \left( \frac{n \pi }{6} \right) +i \sin \left( \frac{n \pi }{4} \right)|>N}\).

Wtedy oczywiście

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left| \frac{\cos \left( \frac{n \pi }{6} \right) +i \sin \left( \frac{n \pi }{4} \right) }{ \sqrt{n} }\right|\geq \sum_{n\in A_N}^{\infty} \frac{N}{ \sqrt{n} }=+\infty}\).

o ile \(\displaystyle{ A_N}\) jest dostatecznie dobre.

Takie \(\displaystyle{ N}\) oczywiście istnieje, gdyż zbiór

\(\displaystyle{ B:=\left\{ \cos \left( \frac{24n \pi }{6} \right) +i \sin \left( \frac{24n \pi }{4} \right) :n\in\NN \right\}}\)

jest skończony (ile jest tych elementów?) oraz wszystkie jego elementy są oddzielone od zera. W szczególności można wziąć

\(\displaystyle{ N:=\frac{1}{2}\min B}\)

(ile wynosi \(\displaystyle{ \min B}\) ?) oraz

\(\displaystyle{ A_N:=24\NN}\).

[a4karo]

To akurat nie jest prawdą: część rzeczywista i urojona są szeregami zbieżnymi, co łątwo wynika z tw. Dirichleta.

[yorgin]

a4karo, pytanie jest o zbieżność bezwzględną, więc sprawdzasz zbieżność szeregu modułów. Sam szereg istotnie jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie.