Obliczyć pierwiastki z jedności \(\displaystyle{ \sqrt[5]{1}}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)
\(\displaystyle{ |z| = 1}\)
\(\displaystyle{ n=5}\)
Obliczam stosując wzór:
\(\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{|z|} \left ( \cos{\frac{\theta+2 k \pi}{n}} + i \sin{\frac{\theta+2 k \pi}{n} } \right )}\)
\(\displaystyle{ z_0 = 1}\)
\(\displaystyle{ z_1 = \cos \frac{2 \pi }{5} + i \sin \frac{2 \pi }{5}}\)
W odpowiedziach mam oczywiście wynik w postaci algebraicznej, czyli:
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{1}{4} ( \sqrt{5} - 1 + i \sqrt{10 + 2 \sqrt{5} } )}\)
Oczywiście prawdą jest, że:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2 \pi }{5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{2 \pi }{5} = \frac{ \sqrt{10 + 2 \sqrt{5} } }{4}}\)
Pytanie
Czy można uzyskać wynik w postaci algebraicznej bez takich kłopotów? Czy jednak trzeba znać wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych?
Obliczyć pierwiastek z jedności
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Obliczyć pierwiastek z jedności
Można rozwiązywać czysto algebraicznie:
\(\displaystyle{ x^5-1=0 \Leftrightarrow \left( x-1 \right) \left( x^4+x^3+x^2+x+1 \right) =0}\)
Oczywiście jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ x=1}\), natomiast pozostałe spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1=0}\)
czyli równoważnie:
\(\displaystyle{ x^2+x+1+\frac 1x + \frac{1}{x^2}=0\\
\left( x+\frac 1x \right) ^2 + \left( x+\frac 1x \right) -1=0}\)
skąd podstawieniem \(\displaystyle{ t=x+\frac 1x}\) łatwo przejść do równania kwadratowego, a potem przy wróceniu do podstawienia znów otrzymujemy równanie kwadratowe.
Q.
\(\displaystyle{ x^5-1=0 \Leftrightarrow \left( x-1 \right) \left( x^4+x^3+x^2+x+1 \right) =0}\)
Oczywiście jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ x=1}\), natomiast pozostałe spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1=0}\)
czyli równoważnie:
\(\displaystyle{ x^2+x+1+\frac 1x + \frac{1}{x^2}=0\\
\left( x+\frac 1x \right) ^2 + \left( x+\frac 1x \right) -1=0}\)
skąd podstawieniem \(\displaystyle{ t=x+\frac 1x}\) łatwo przejść do równania kwadratowego, a potem przy wróceniu do podstawienia znów otrzymujemy równanie kwadratowe.
Q.