wzór moivre'a

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
tommy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 180
Rejestracja: 25 gru 2006, o 13:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 100 razy

wzór moivre'a

Post autor: tommy007 »

korzystając ze wzoru moivre'a. oblicz:
\(\displaystyle{ (i-1)^7}\)
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wzór moivre'a

Post autor: max »

\(\displaystyle{ |i - 1| = \sqrt{(-1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\\
\arg (i - 1) = \frac{3\pi}{4}\\
(i - 1)^{7} =\\
= |i - 1|^{7}\cdot(\cos (7\cdot \arg (i - 1)) + i \sin (7\cdot \arg (i - 1))) =\\
= 8\sqrt{2}\cdot (\cos \tfrac{21\pi}{4} + i\sin \tfrac{21\pi}{4}) =\\
= 8\sqrt{2}\cdot (-\tfrac{1}{\sqrt{2}} - i\tfrac{1}{\sqrt{2}}) = -8 - 8i}\)
homer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 25 cze 2007, o 17:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-w

wzór moivre'a

Post autor: homer »

skąd \(\displaystyle{ \arg (i - 1) = \frac{3\pi}{4}}\) ?

próbuje rozgryźć ten wzór Moivre, ale nie wiem skąd te kąty/argumenty sie bierze?
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wzór moivre'a

Post autor: max »

Argument liczby zespolonej danej w postaci kanonicznej wyznaczasz z układu równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\cos \arg(a + ib) = \frac{a}{|a + ib|} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\\
\sin \arg(a + ib) = \frac{b}{|a + ib|} = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\end{array}}\)
Prozor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 7 paź 2010, o 11:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wschowa

wzór moivre'a

Post autor: Prozor »

nie wiem skad wzielo sie to \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) jesli z tego ukladu rownan to prosilbym zeby go rozwiązac na tym przykladzie tam podanym i-1
Ostatnio zmieniony 7 paź 2010, o 11:42 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

wzór moivre'a

Post autor: Crizz »

To może odrobinę inaczej: po obliczeniu modułu wyciągamy go przed nawias
\(\displaystyle{ i-1=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\)
i szukamy po prostu kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), dla którego \(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2},sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Teraz, jeśli od razu nie znasz takiego kąta, to go zgadujesz:

Z pierwszej ćwiartki znamy taki kąt, że \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2},sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}}\). Jest to kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Mamy jednak problem, bo szukamy kąta, dla którego cosinus jest ujemny, a nie dodatni, jak tutaj.

Widzimy zatem, że \(\displaystyle{ sin\alpha=sin\frac{\pi}{4}, cos\alpha=-cos \frac{\pi}{4}}\). Szukamy przy użyciu wzorów redukcyjnych kąta, który przy redukcji zachowa się właśnie tak, tzn. sinus tego kąta będzie sinusem kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), a cosinus przy redukcji będzie minus cosinusem kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Jest nim \(\displaystyle{ \pi-\frac{\pi}{4}}\) (bo mamy wzory \(\displaystyle{ cos(\pi-\alpha)=-cos\alpha,sin(\pi-\alpha)=sin\alpha}\)).
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

wzór moivre'a

Post autor: mrsemily »

Argument liczby zespolonej można również wyznaczyć korzystając z jej geometrycznej interpretacji. Liczba zespolona z = a + ib na płaszczyźnie zespolonej reprezentuje wektor (a,b). Argumentem jest kąt jaki tworzy ten wektor z osią Re, więc stosunek \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) równy jest tangensowi Argz. Ostatecznie:

\(\displaystyle{ Argz = arctan( \frac{a}{b})}\)
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wzór moivre'a

Post autor: norwimaj »

mrsemily pisze: Ostatecznie:

\(\displaystyle{ Argz = arctan( \frac{a}{b})}\)
Z tym jednym się nie zgodzę. W tym przykładzie wyszłoby \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4}}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\). Tak jak piszesz jest dla \(\displaystyle{ a>0}\).
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

wzór moivre'a

Post autor: mrsemily »

Rzeczywiście równość, którą podałam jest prawdziwa jedynie dla a>0. Jednak łatwo sprawdzić w której ćwiartce na płaszczyźnie zespolonej znajduję się dany wektor (jeśli a,b>0 w pierwszej, a<0, b>0 w drugiej itd.) i dodać odpowiednią wieloktrotność \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\).
ODPOWIEDZ