Argument liczby zespolonej z potęgą

[Poszukujaca]

Mam coś takiego do rozwiązania:

\(\displaystyle{ arg z^{3} < \frac{\pi}{4}}\)

Korzystam tutaj z własności argumentu liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ arg z^{n}=n \cdot arg z +2k\pi}\)

Otrzymuję:

\(\displaystyle{ arg z < \frac{\pi}{12}}\)

Wydaje mi się, że rozwiązaniem będzie część płaszczyzny ograniczona osią OX i prostą nachyloną do osi OX pod kątem równym \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\).

Natomiast wolfram alpha pokazuje mi rozwiązaniem inne. Nie rozumiem. Proszę o wskazanie błędu.

[a4karo]

Przyjrzyj się temu \(\displaystyle{ 2k\pi}\)

[Poszukujaca]

Powinno być zatem:

\(\displaystyle{ arg z < \frac{\pi}{12} +2k\pi}\)

Trzeba dobrać takie k, by wartość kąta należała do przedziału \(\displaystyle{ [0, 2pi)}\).
Wybieram więc, \(\displaystyle{ k=1}\). Nadal nie rozumiem tego rozwiązania.

[a4karo]

Niech \(\displaystyle{ z=r(\cos \phi + \sin \phi)}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ 0\leq arg z^3<\pi/4}\) wtedy gdy \(\displaystyle{ 0\leq 3\phi< \pi/4}\), ale także gdy
\(\displaystyle{ 2\pi \leq 3\phi< 2\pi+\pi/4}\) i
\(\displaystyle{ 4\pi \leq 3\phi< 4\pi+\pi/4}\).

Co stąd wynika?

[leszczu450]

Również robię to zadanie i nie wiem jak zinterpretować to \(\displaystyle{ 2k\pi}\). Różnice jest też taka, że u mnie na wykładzie argument główny to kąt z przedziału \(\displaystyle{ (-\pi,\pi]}\). Ale to tylko kwestia umowy.