płaszczyzna zespolona

[kalwi]

Podać interpretację geometryczną następujących zbiorów liczb zespolonych \(\displaystyle{ z}\) :

\(\displaystyle{ \left\{ z:\left| z-a\right|=\left| z-b\right|, \ a \neq b \right\}}\)


\(\displaystyle{ \left\{ z: \left| z\right| \le \Re z \right\}}\)


jak to ugryźć?

[Kaf]

Ad. 2. Od razu widać, że musi być \(\displaystyle{ \Re z \ge 0}\), więc możesz o wszystkich liczbach niespełniających tego warunku nie myśleć. Weź dowolną prostą równoległą do osi urojonej i dowolny punkt na niej (tu przyda się rysunek). Co widzisz?

Wskazówka:    

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątna jest dłuższa od dowolnej przyprostokątnej.

Ad. 1. Mam rozumieć, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są pewnymi ustalonymi liczbami zespolonymi?

[kalwi]

autor zadania nie podał, czym są \(\displaystyle{ a,b}\) ale obstawiałbym, że to są l. rzeczywiste

[yorgin]

Skoro \(\displaystyle{ z}\) jest liczbą zespoloną, to logiczne jest, że \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) też są.

Wtedy ten zbiór to zbiór punktów równoodległych od dwóch ustalonych punktów na płaszczyźnie zespolonej. A więc jest to symetralna odcinka o końcach w \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\).

[Kaf]

To w takim razie moja wskazówka jest taka: myśl o liczbie zespolonej jako o punkcie, który przesuwasz o odpowiednie wektory. Cała zabawa polega na tym, że szukamy takich, że te dwa nowo powstałe punkty leżą na tym samym okręgu o środku w zerze.