Tożsamość trygonometryczna

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: Bobi02 »

Witam. Chciałbym uprościć takie wyrażenie.

\(\displaystyle{ \sin(x) + \sin(2x)+...+\sin(nx) = \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx})}\).

\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) = \Im \frac{e^{ix}(1-e^{inx})}{1-e^{ix}}}\)

\(\displaystyle{ 1-e^{ix} = -2ie^{ \frac{ix}{2}}\sin\left( \frac{x}{2} \right)}\)


Dochodzę do momentu :

\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) = i \left[ \frac{e^{ \frac{ix}{2} } - e^{i(n+ \frac{1}{2})x}}{2\sin\left(\frac{x}{2}\right) }\right]}\).


Jak popchnąć to dalej, aby otrzymać .... \(\displaystyle{ = \frac{\cos\left( \frac{x}{2} \right) - \cos(n+ \frac{1}{2})x }{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)}}\)?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) = i \left[ \frac{e^{ \frac{ix}{2} } - e^{i(n+ \frac{1}{2})x}}{2\sin\left(\frac{x}{2}\right) }\right]}\)
Chyba nie tak...
Wiesz tylko, że
\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) =\Im i \left[ \frac{e^{ \frac{ix}{2} } - e^{i(n+ \frac{1}{2})x}}{2\sin\left(\frac{x}{2}\right) }\right]}\)
Mianownik jest liczbą rzeczywistą. Skąd wezmą się części urojone w licznikach? ano z części rzeczywistych \(\displaystyle{ e^{ix/2}}\) i \(\displaystyle{ e^{i(n+1/2)x}}\), a te są równe ???
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) = \Im \frac{e^{ix}(1-e^{inx})}{1-e^{ix}}=}\)
\(\displaystyle{ =\Im \frac{e^{ix} }{1-e^{ix}} - \Im \frac{e^{inx}e^{ix} }{1-e^{ix}}=...}\)
Rozważam osobno
\(\displaystyle{ \Im \frac{e^{ix} }{1-e^{ix}}= \Im \frac{\cos x+i \sin x}{1-\cos x-i \sin x}= \Im \frac{\left(\cos x+i \sin x \right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }{\left( 1-\cos x-i \sin x\right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }=}\)
\(\displaystyle{ =\Im \frac{\cos x-1+i\sin x}{2-2\cos x}=\frac{\sin x}{2-2\cos x}= \frac{2 \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} }{4\sin ^{2} \frac{x}{2} }= \frac{\cos \frac{x}{2} }{2\sin \frac{x}{2} }}\)
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ \Im \frac{e^{inx}e^{ix} }{1-e^{ix}}=\Im \frac{e^{i\left( n+1\right) x} }{1-e^{ix}}=\Im \frac{\cos\left( n+1\right)x+i\sin \left( n+1\right)x}{1-\cos x-i \sin x}=}\)
\(\displaystyle{ = \Im \frac{\left(\cos\left( n+1\right)x+i\sin \left( n+1\right)x \right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }{\left( 1-\cos x-i \sin x\right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\sin \left( n+1\right)x +\cos \left( n+1\right)x \sin x- \sin \left( n+1\right)x \cos x}{2-2\cos x}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\sin \left( n+1\right)x - \sin \left( n+1-1\right)x }{4\sin ^{2} \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{(2n+1)x}{2} }{4\sin ^{2}\frac{x}{2}}= \frac{\cos \frac{(2n+1)x}{2}}{2\sin\frac{x}{2} }}\)
Podstaw to do różnicy części urojonych i masz poszukiwany wynik.
ODPOWIEDZ