Witam. Chciałbym uprościć takie wyrażenie.
\(\displaystyle{ \sin(x) + \sin(2x)+...+\sin(nx) = \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx})}\).
\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) = \Im \frac{e^{ix}(1-e^{inx})}{1-e^{ix}}}\)
\(\displaystyle{ 1-e^{ix} = -2ie^{ \frac{ix}{2}}\sin\left( \frac{x}{2} \right)}\)
Dochodzę do momentu :
\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) = i \left[ \frac{e^{ \frac{ix}{2} } - e^{i(n+ \frac{1}{2})x}}{2\sin\left(\frac{x}{2}\right) }\right]}\).
Jak popchnąć to dalej, aby otrzymać .... \(\displaystyle{ = \frac{\cos\left( \frac{x}{2} \right) - \cos(n+ \frac{1}{2})x }{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)}}\)?
Tożsamość trygonometryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Tożsamość trygonometryczna
Chyba nie tak...\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) = i \left[ \frac{e^{ \frac{ix}{2} } - e^{i(n+ \frac{1}{2})x}}{2\sin\left(\frac{x}{2}\right) }\right]}\)
Wiesz tylko, że
\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) =\Im i \left[ \frac{e^{ \frac{ix}{2} } - e^{i(n+ \frac{1}{2})x}}{2\sin\left(\frac{x}{2}\right) }\right]}\)
Mianownik jest liczbą rzeczywistą. Skąd wezmą się części urojone w licznikach? ano z części rzeczywistych \(\displaystyle{ e^{ix/2}}\) i \(\displaystyle{ e^{i(n+1/2)x}}\), a te są równe ???
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Tożsamość trygonometryczna
\(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+e^{i2x}+...+e^{inx}) = \Im \frac{e^{ix}(1-e^{inx})}{1-e^{ix}}=}\)
\(\displaystyle{ =\Im \frac{e^{ix} }{1-e^{ix}} - \Im \frac{e^{inx}e^{ix} }{1-e^{ix}}=...}\)
Rozważam osobno
\(\displaystyle{ \Im \frac{e^{ix} }{1-e^{ix}}= \Im \frac{\cos x+i \sin x}{1-\cos x-i \sin x}= \Im \frac{\left(\cos x+i \sin x \right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }{\left( 1-\cos x-i \sin x\right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }=}\)
\(\displaystyle{ =\Im \frac{\cos x-1+i\sin x}{2-2\cos x}=\frac{\sin x}{2-2\cos x}= \frac{2 \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} }{4\sin ^{2} \frac{x}{2} }= \frac{\cos \frac{x}{2} }{2\sin \frac{x}{2} }}\)
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ \Im \frac{e^{inx}e^{ix} }{1-e^{ix}}=\Im \frac{e^{i\left( n+1\right) x} }{1-e^{ix}}=\Im \frac{\cos\left( n+1\right)x+i\sin \left( n+1\right)x}{1-\cos x-i \sin x}=}\)
\(\displaystyle{ = \Im \frac{\left(\cos\left( n+1\right)x+i\sin \left( n+1\right)x \right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }{\left( 1-\cos x-i \sin x\right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\sin \left( n+1\right)x +\cos \left( n+1\right)x \sin x- \sin \left( n+1\right)x \cos x}{2-2\cos x}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\sin \left( n+1\right)x - \sin \left( n+1-1\right)x }{4\sin ^{2} \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{(2n+1)x}{2} }{4\sin ^{2}\frac{x}{2}}= \frac{\cos \frac{(2n+1)x}{2}}{2\sin\frac{x}{2} }}\)
Podstaw to do różnicy części urojonych i masz poszukiwany wynik.
\(\displaystyle{ =\Im \frac{e^{ix} }{1-e^{ix}} - \Im \frac{e^{inx}e^{ix} }{1-e^{ix}}=...}\)
Rozważam osobno
\(\displaystyle{ \Im \frac{e^{ix} }{1-e^{ix}}= \Im \frac{\cos x+i \sin x}{1-\cos x-i \sin x}= \Im \frac{\left(\cos x+i \sin x \right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }{\left( 1-\cos x-i \sin x\right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }=}\)
\(\displaystyle{ =\Im \frac{\cos x-1+i\sin x}{2-2\cos x}=\frac{\sin x}{2-2\cos x}= \frac{2 \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} }{4\sin ^{2} \frac{x}{2} }= \frac{\cos \frac{x}{2} }{2\sin \frac{x}{2} }}\)
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ \Im \frac{e^{inx}e^{ix} }{1-e^{ix}}=\Im \frac{e^{i\left( n+1\right) x} }{1-e^{ix}}=\Im \frac{\cos\left( n+1\right)x+i\sin \left( n+1\right)x}{1-\cos x-i \sin x}=}\)
\(\displaystyle{ = \Im \frac{\left(\cos\left( n+1\right)x+i\sin \left( n+1\right)x \right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }{\left( 1-\cos x-i \sin x\right)\left( 1-\cos x+i \sin x\right) }=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\sin \left( n+1\right)x +\cos \left( n+1\right)x \sin x- \sin \left( n+1\right)x \cos x}{2-2\cos x}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\sin \left( n+1\right)x - \sin \left( n+1-1\right)x }{4\sin ^{2} \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{(2n+1)x}{2} }{4\sin ^{2}\frac{x}{2}}= \frac{\cos \frac{(2n+1)x}{2}}{2\sin\frac{x}{2} }}\)
Podstaw to do różnicy części urojonych i masz poszukiwany wynik.