Pierwiastki i wielomiany w zespolonych - 2 nie jasne zadania

[kuba0981]

Cześć wszystkim. Dostałem jako pracę domową parę zadań i w dwóch przypadkach nie do końca rozumiem co mam zrobić.

1. Wyznacz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1+2i}}\). Wynik zaznacz na płaszczyźnie zespolonej i zapisz w postaci wykładniczej.
co mam tutaj zrobić ? Znaleźć wszystkie pierwiastki, zaznaczyć je jako wektory na płaszczyźnie i na koniec postać wykładnicza ?

P.S jak właściwie policzyć tutaj postać wykładniczą ?\(\displaystyle{ z=r \cdot e^{i \cdot \alpha}}\) się chyba nie nada bo będzie dotyczyć pojedynczego pierwiastka ?

2. Wiadomo, że \(\displaystyle{ z_{0}=1-i}\) jest pierwiastkiem wielomianu W(z). Skorzystaj z tej informacji aby wyznaczyć pozostałe pierwiastki. \(\displaystyle{ W(z) = z^4 -2z^3 +6z^2-8z+8}\)
No i jak poradzić sobie z takim zadaniem ? W liceum działałbym Hornerem, a tutaj nie zadziała :/
Wiem, że skoro \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest miejscem zerowym to jego sprzężenie będzie następnym pierwiastkiem, ale co dalej ?

Z góry dzięki za pomoc

[miodzio1988]

2. Horner działa i dla liczb zespolonych

[rtuszyns]

2. Wiadomo, że \(\displaystyle{ z_{0}=1-i}\) jest pierwiastkiem wielomianu W(z). Skorzystaj z tej informacji aby wyznaczyć pozostałe pierwiastki. \(\displaystyle{ W(z) = z^4 -2z^3 +6z^2-8z+8}\)
No i jak poradzić sobie z takim zadaniem ? W liceum działałbym Hornerem, a tutaj nie zadziała :/
Wiem, że skoro \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest miejscem zerowym to jego sprzężenie będzie następnym pierwiastkiem, ale co dalej ?

Z góry dzięki za pomoc

Tw. Bezout działa również dla liczb zespolonych...

[kuba0981]

Fakt, jeśli chodzi o drugie zadanie to wszystko już wiem, dzięki.
Ale co z 1. ?

[Mick_]

Szukanie rozwiązań równania \(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-1+2i}}\) można sprowadzić do rozwiązywania równania:
\(\displaystyle{ z^{3}=-1+2i}\).

Korzystając z definicji liczby zespolonej otrzymujemy
\(\displaystyle{ (x+iy)^{3}=-1+2i}\)

Teraz należy uprościć równanie aby można było porównać części rzeczywiste i urojone po obu stronach.
To doprowadzi nas do układu dwóch równań trzeciego stopnia - powinniśmy otrzymać trzy rozwiązania.
Znając moduł i argumenty wyznaczonych powyżej liczb zespolonych możemy je przedstawić w postaci wykładniczej.