Oblicz w dziedzinie zespolonej

[jakotako]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt{3} - i }{i - 1} }}\)

Witam. Wychodzą mi z tego równania jakieś dziwne kąty. Proszę o sprawdzenie czy dobrze rozumuję:
Pod pierwiastkiem mnożę przez sprzężenie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt{3} - i }{i - 1} \cdot \frac{i+1}{i+1} } =}\) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt{3}i + \sqrt{3} - i^{2} - i }{ i^{2} -1 } } =}\)\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt{3}i + \sqrt{3} +1 - i }{ -2} }}\)
Teraz liczę moduł:
\(\displaystyle{ \left| z\right|}\) = \(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{\sqrt{3} -1}{-2}\right) ^{2} + \left( \frac{\sqrt{3} +1}{-2}\right) ^{2} =}\) \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

Teraz wyznaczam \(\displaystyle{ cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} -1 }{\sqrt{2}}}\)
No i z tego jakiś nie bardzo kąt mi wychodzi. Prowadząca twierdziła, że nie powinno być kątów różnych od standardowych. Co ewentualnie robię źle?

Czy powinienem to równanie rozbić na:
\(\displaystyle{ \frac{ (\sqrt{3} - i)^{ \frac{1}{3} } }{ (i-1)^{ \frac{1}{3} } }}\)
I zamieniać obydwie liczby na postać trygonometryczną i wtedy dzielić?

[kerajs]

Standardowo pierwiastki wylicza się z wzoru De Moivra z postaci trygonometrzycznej.

1. Odpowiadając na Twoje ostatnie pytanie to można liczyć osobno pierwiastek z licznika i mianownika, ale to dokładanie sobie pracy

2. W wyliczonym kosinusie zgubiłeś minus i masz zły mianownik

3. Prowadząca miała rację o ile kąty 15 stopni, 75 stopni, itp. traktuje jak standardowe


Warto zadanie zacząć na nowo.
Licznik i mianownik ułamka pod pierwiastkiem przedstawić w postaci trygonometrzycznej i w takiej postaci dokonać dzielenia. Uzyskany wynik także w postaci trygonometrzycznej pierwiaskować zgodnie ze wzorem de Moivra uzyskując trzy różne rozwiązania.