dowód moduły liczb zespolonych

aGabi94 · Post autor: **aGabi94** » 7 kwie 2014, o 09:59

Niech \(\displaystyle{ z_{1} , z_{2}, z_{3} \in\mathbb{C}}\) oraz \(\displaystyle{ |z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1}\)
Wykazać,że \(\displaystyle{ z_{1}+z_{2}+z_{3}=0}\) wtedy i tylko wtedy,gdy \(\displaystyle{ z_{1},z_{2},z_{3}}\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 7 kwie 2014, o 19:43

Z którą implikacją masz problem?

aGabi94 · Post autor: **aGabi94** » 8 kwie 2014, o 09:04

Pewnie to jest prosty dowód, ale nie mam w ogóle pomysłu. Czy to będzie miało związek z tym,że te liczby leżą na okręgu o promieniu 1?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 8 kwie 2014, o 15:29

Tak - będzie miało z tym związek. Jeżeli są to wierzchołki trójkąta, to
\(\displaystyle{ z_2 = z_1 e^{\frac{\pi}{3}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ z_3 = z_1 e^{\frac{2\pi}{3}}}\)
Teraz licząc \(\displaystyle{ z_1 + z_2 + z_3 = z_1 \left( 1 + e^{\frac{\pi}{3}} + e^{\frac{2\pi}{3}}\right)}\) - pokaż, że liczba w nawiasie jest zerowa.

Spróbuj teraz podejść do tego na odwrót - co jeśli suma jest zero?