udowodnić że dla dowolnych liczb zespolonych z i w zachodzą równości:
\(\displaystyle{ |z*w|=|z|*|w|}\)
liczby zespolone- udowodnić
-
dh10
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 2 maja 2007, o 11:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Pomógł: 15 razy
liczby zespolone- udowodnić
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\) a \(\displaystyle{ y=a+ib}\)
czyli mamy \(\displaystyle{ |(x+iy)(a+ib)|=|x+iy|\cdot |a+ib|}\)
\(\displaystyle{ |ax-by+i(bx+ay)|=\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(ax-by)^2+(bx+ay)^2}=\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2x^2-2axby+b^2y^2+b^2x^2+2bxay+a^2y^2}=\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2}=\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2}}\)
czyli mamy \(\displaystyle{ |(x+iy)(a+ib)|=|x+iy|\cdot |a+ib|}\)
\(\displaystyle{ |ax-by+i(bx+ay)|=\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(ax-by)^2+(bx+ay)^2}=\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2x^2-2axby+b^2y^2+b^2x^2+2bxay+a^2y^2}=\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2}=\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2}}\)