rozwiąż równania

[aGabi94]

Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu następujących równań:
1)\(\displaystyle{ z^7=\overline{z}}\)
2)\(\displaystyle{ z^4=(1-i)^4}\)
3)\(\displaystyle{ z^2+iz+3i+1=0}\)

[norwimaj]

1. Jednym z rozwiązań jest niewątpliwie \(\displaystyle{ z=0}\). Poszukajmy innych. Mnożę równanie przez \(\displaystyle{ z}\):

\(\displaystyle{ z^8=|z|^2.}\)

Widać, że \(\displaystyle{ |z|}\) może przyjąć tylko wartość \(\displaystyle{ 0}\) (co już wcześniej rozpatrzyliśmy) lub \(\displaystyle{ 1}\). Zatem zostaje do rozwiązania równanie:

\(\displaystyle{ z^8=1.}\)-- 27 mar 2014, o 21:45 --2. \(\displaystyle{ \left(\frac z{1-i}\right)^4=1.}\)
W takim razie \(\displaystyle{ \frac z{1-i}=\ldots}\)

3. To jest równanie kwadratowe, więc można obliczyć "deltę".

[aGabi94]

Dziękuję za pomoc.Czyli w 1) będzie \(\displaystyle{ z=-1}\) lub \(\displaystyle{ z=0}\) lub \(\displaystyle{ z=1}\) , a drugim
\(\displaystyle{ z=1-i}\) lub \(\displaystyle{ z=-1+i}\) ?

[norwimaj]

Ile jest pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki?

[aGabi94]

n ? Będzie aż 8 pierwiastków?Czy oprócz tych co wymieniłam będzie jeszcze \(\displaystyle{ i , -i}\) ?

[norwimaj]

W równaniu pierwszym jest w sumie \(\displaystyle{ 9}\) pierwiastków: osiem pierwiastków ósmego stopnia z jedynki (wierzchołki ośmiokąta foremnego) i zero.