Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie

[Poszukujaca]

Proszę o pomoc w zrozumieniu, jak przedstawia się na płaszczyźnie poniższy zbiór:
\(\displaystyle{ \{z \in \CC: \arg(3z+i)= \pi\}}\)

[kropka+]

Argument równy \(\displaystyle{ \pi}\) mają wszystkie ujemne liczby rzeczywiste. Zapisz \(\displaystyle{ z=a+bi}\), policz to co w nawiasie i to, co Ci wyjdzie ma być liczbą rzeczywistą ujemną.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ arg(3x+3iy+i)=\pi}\)

I teraz co? Czy to co jest częścią urojoną ma być równe zeru?

\(\displaystyle{ 3y+1= 0}\)

[kropka+]

Tak, a część rzeczywista ujemna.

[Poszukujaca]

Czyli \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}}\)

Dlaczego część rzeczywista musi być dodatnia?

[kropka+]

Bo argument to kąt nachylenia liczby zespolonej do dodatniej półosi rzeczywistej - patrz rysunek:

[Poszukujaca]

Czy w takim razie wykresem tego równania będzie półprosta \(\displaystyle{ y=\frac{-1}{3}}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\)?

Nie bardzo rozumiem dlaczego tak.

[kropka+]

Tak, półprosta, bo równanie spełniają liczby postaci \(\displaystyle{ z=a- \frac{1}{3}i \wedge a<0}\).
Nie wiem, czego nie rozumiesz.

[Mefistocattus]

Czy w takim razie wykresem tego równania będzie półprosta \(\displaystyle{ y=\frac{-1}{3}}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\)?

Nie bardzo rozumiem dlaczego tak.

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) liczba \(\displaystyle{ z}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\) i jej argument jest nieokreślony.
Dla \(\displaystyle{ x>0}\) liczba \(\displaystyle{ z}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią i jej argument jest równy \(\displaystyle{ 0}\).

Warunki zadania są spełnione tylko, gdy \(\displaystyle{ z}\) jest liczbą rzeczywistą ujemną, czyli gdy \(\displaystyle{ x<0}\).

(Argument mógłby przyjmować również inne wartości, ale te wykluczyliśmy już przyrównując część urojoną do zera.)