Równanie wielomianowe z liczbą zespoloną

[Poszukujaca]

Jak rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ z^{2}=7-24i}\)

[kristoffwp]

Podstaw \(\displaystyle{ z=a+bi}\). Podnieś do kwadratu a potem przyrównaj do siebie części rzeczywistą i urojoną lewej i prawej strony równania.

[Poszukujaca]

Dokładnie tak zrobiłam:

\(\displaystyle{ x^{2}+2ixy-y^{2}=7-24i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}=7 \\ 2xy=-24 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{-12}{x}}\)

Teraz podstawiam: \(\displaystyle{ x^{2}=t, t \ge 0}\)

Otrzymuję równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ t^{2}-144t+7=0}\)

Czy mogę go teraz potraktować jak zwykle równanie kwadratowe na liczbach rzeczywistych?

[a4karo]

Nawet musisz je tak traktować .-- 26 mar 2014, o 14:52 --TYlko zwróc uwagę na równanie, bo chyba cos żle policzyłaś

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ t^{2}+7t-144=0}\)-- 26 mar 2014, o 15:21 --Czy równanie to, może mieć ostatecznie 4 rozwiązania?

[rtuszyns]

\(\displaystyle{ t^{2}+7t-144=0}\)

-- 26 mar 2014, o 15:21 --

Czy równanie to, może mieć ostatecznie 4 rozwiązania?

Tak.

[a4karo]

Nie. Rozwiązanie musi być dodatnie, bo jest kwadratem liczby rzeczywistej.

[Poszukujaca]

Miałam na myśli równanie początkowe:
\(\displaystyle{ z^{2}=7-24i}\)

Wyszły mi takie rozwiązania:
\(\displaystyle{ z_{1}=1-12i, z_{2}=-1+12i, z_{3}=\sqrt{6}-2\sqrt{6}i, z_{4}=-\sqrt{6}+2\sqrt{6}}\)

Proszę o sprawdzenie.

[Arytmetyk]

to jest źle

policz:

\(\displaystyle{ \sqrt{7-24i}}\)

[kristoffwp]

Równanie \(\displaystyle{ z^n=a}\) dla \(\displaystyle{ z,a\in\mathbb{C}}\) ma zawsze dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków.-- 26 mar 2014, o 21:19 --Oczywiście \(\displaystyle{ z}\) to niewiadoma i \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)

[Poszukujaca]

A gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?-- 26 mar 2014, o 21:45 --Znalazłam już błąd w obliczeniach. Dziękuję za pomoc