wzór moivre'a

[Przybysz]

Skorzystaj z wzoru Moivre'a. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.

\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^{20}}{(1+i)^{25}}}\)
Co zrobić aby sprowadzić to na jeden "poziom" ?
Te nierówne potęgi są problemem..

[chris_f]

To nie jest żaden problem. Policz osobno licznik osobno mianownik a dopiero potem dziel.
Np. w liczniku
\(\displaystyle{ |1-i|=\sqrt{2},\ \cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2},\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Mamy stąd \(\displaystyle{ \varphi=\frac{7\pi}{4}}\) i dalej
\(\displaystyle{ (1-i)^{20}=\sqrt{2}^{20}\left(\cos20\cdot\frac{7\pi}{4}+i\sin20\cdot20\cdot\frac{7\pi}{4}\right)=2^{10}(\cos35\pi+i\sin35\pi)=2^{10}(-1+i\cdot0)=-2^{10}}\)
Tak samo zrób w mianowniku i wykonaj dzielenie.

[Kartezjusz]

Ewentualnie możesz licznik i mianownik pomnożyć przez \(\displaystyle{ (1-i)^{25}}\)

[Przybysz]

Dzięki wielkie.
Jeszcze tylko:
Jak poradzić sobie z: \(\displaystyle{ (\sqrt{2})^{25})}\) ?

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ \frac{25}{2}= 12+ \frac{1}{2}}\)