Liczby zespolona - grupa abelowa

[myszka9]

Sprawdź czy podana struktura jest grupą abelową:

\(\displaystyle{ (A_n, \cdot) gdzie A_n:=\{z \in \CC : z^n=1\}}\)

\(\displaystyle{ \cdot}\) to zwykłe mnożenie

1) przemienność
Niech \(\displaystyle{ n\in\NN}\)
Ust dow \(\displaystyle{ z,w \in \CC}\) takie , że \(\displaystyle{ z^n = 1 , w^n=1}\)

(?) \(\displaystyle{ z\cdot w = w\cdot z}\)

gdzie \(\displaystyle{ z = |z|(\cos a + i \cdot \sin a) \\
w=|w|(\cos b + i \cdot \sin b)}\)

\(\displaystyle{ z \cdot w = |z|\cdot|w| (\cos (a+b)+i\cdot \sin (a+b))
= |w|\cdot|z| (\cos (b+a)+i\cdot \sin (b+a)) = w \cdot z}\)

Ale jakie tu ma znaczenie \(\displaystyle{ z^n=1}\) i \(\displaystyle{ w^n=1}\) ?
Muszę pokazać jeszcze, że \(\displaystyle{ (z\cdot w)^n = 1}\) (grupa powinna być zamknięta na działania), tak?

[Dasio11]

Przemienność najlepiej udowodnić tak, jak dla wszystkich liczb zespolonych. Założenie, że \(\displaystyle{ z^n = 1}\) oraz \(\displaystyle{ w^n = 1,}\) nie jest przy tym wykorzystane.
Należy jeszcze pokazać, że dla \(\displaystyle{ a, b \in A_n}\)

\(\displaystyle{ \bullet \ a \cdot b \in A_n \\
\bullet \ a^{-1} \in A_n.}\)