Równanie.Potęga liczby zespolonej równa liczbie sprzężonej.

[Ljosberinn]

Witam.
Mam ochotę rozwiązać równanie. Nie proszę o pełne rozwiązanie. Liczę na trafną podpowiedź.

\(\displaystyle{ z^{6}=\bar{z}}\)

[virtue]

zapisz w postaci trygonometrycznej

[Ljosberinn]

Już próbowałem ale może robię to nie w ten sposób co trzeba:

\(\displaystyle{ \left| z\right|^{6}( \cos 6 \alpha +i \sin 6 \alpha )= \left| z\right|(\cos (-\alpha) -i \sin \alpha )}\)
Nie wiem dalej, co z tym zrobić ?

Czy może liczyć wszystkie pierwiastki z \(\displaystyle{ (\cos (-\alpha) -i \sin \alpha )}\) aż dostanę \(\displaystyle{ (\cos (-\alpha) +i \sin \alpha )}\) ? Tylko nie wiem czy to się tak da policzyć.

[virtue]

Moduł z liczby sprzężonej nie ulega zmianie czyli

\(\displaystyle{ ( \cos 6 \alpha +i \sin 6 \alpha )= ?}\)

[Ljosberinn]

Co masz na myśli pisząc, że moduł liczby sprzężonej nie ulega zmianie ?

[virtue]

\(\displaystyle{ (\sqrt{ a^{2}+b ^{2} }) ^{6}( \cos 6 \alpha +i \sin 6 \alpha )=\sqrt{ (a^{2}+(-b) ^{2} }(\cos (\alpha) -i \sin \alpha )}\)

[Ljosberinn]

Czyli dostaniemy coś takiego ?

\(\displaystyle{ ( \cos 6 \alpha +i \sin 6 \alpha )= \frac{(\cos (\alpha) -i \sin \alpha )}{\left| z\right|^{5}}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|^{5}= \frac{(\cos (\alpha) -i \sin \alpha )}{( \cos 6 \alpha +i \sin 6 \alpha )}}\)

Do takich równań (jeśli o takie chodzi ?) doszedłem jeszcze przed założeniem tego tematu. Tylko nie wiem jak dalej je przekształcić, żeby otrzymać jakiś rezultat.

[virtue]

\(\displaystyle{ \begin{cases}\left| z\right|^{5}\cos 6 \alpha=\cos \alpha \\\left| z\right|^{5}\sin 6 \alpha=\ (-sin\alpha) \end{cases}}\)
Następnie liczysz z tożsamości