Rówanie algebraiczne z liczbą zespoloną

[Kubaniec]

Witam Was, zastanawiam się cyz dobrze główkuję.
Mam znaleźć wszystkie pierwiastki i zinterpretować je geometrycznie.
\(\displaystyle{ z^{3} +27i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{3}=-27i}\)
\(\displaystyle{ z^{3}=27i^{3}}\)
\(\displaystyle{ z=3i}\)

Tak więc \(\displaystyle{ -3i}\) też jest pierwiastkiem, czy trzeci pierwiastek to iloczyn tych dwóch pozostałych??

[Kacperdev]

Skąd teza, że \(\displaystyle{ -3i}\) jest także pierwiastkiem?

[Kubaniec]

coś mi w głowie świta, że jak jakaś liczba zespolona jest pierwiastkiem wielomianu, to jej sprzężenie też jest

[Kacperdev]

Tak, ale to tyczy wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Tu tak nie mamy.

[yorgin]

Można skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów dla \(\displaystyle{ a=z}\) oraz \(\displaystyle{ b=3i}\).

[Kacperdev]

Lub na piechotę: \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

\(\displaystyle{ \left( a+bi\right) ^{3} +27i=0}\)

wymnożyć i rozwiązać ukad równań.