Zilustrować tożsamość na rysunku.

xyz432 · Post autor: **xyz432** » 22 lut 2014, o 19:43

\(\displaystyle{ |z_{1}+z_{2}|^{2}+|z_{1}-z_{2}|^{2}=2(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2})}\)

Interpretację geometryczną już mam, ale nie wiem jak to zilustrować na rysunku.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2014, o 19:48

No to nie rozumiem. Opisz tę interpretację, którą masz. Tak własnymi słowami.

Miałem napisaną odpowiedź, Ty posta skasowałeś i na nowo posłałeś. Mniejsza z tym. Ale na razie nie napiszę czekając co Ty powiesz.

xyz432 · Post autor: **xyz432** » 22 lut 2014, o 20:07

\(\displaystyle{ z_1=x_1+y_1i \\ z_2=x_2+y_2i \\\ (x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2+(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=2(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2) \\ 2(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2)=2(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2)\\}\)

I tu uzasadniłem, że podana równość jest tożsamością, tylko nie jestem pewny jak mam to zilustrować.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2014, o 20:07

Jest to reguła równoległoboku. Zinterpretuj \(\displaystyle{ z_1,z_2}\) jako wektory na płaszczyźnie, a \(\displaystyle{ |z|}\) jako długość wektora. Wektory dodajemy metodą równoległoboku. Więc łatwo znajdziesz sumę. Czym jest różnica?

xyz432 · Post autor: **xyz432** » 22 lut 2014, o 22:21

To ja się już całkiem pogubiłem.
Więc po kolei:
\(\displaystyle{ z_1,z_2}\) mam zinterpretować na tej zasadzie: ?
A co do różnicy, to mam dodać do wektora \(\displaystyle{ z_1}\) wektor przeciwny \(\displaystyle{ z_2}\) ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2014, o 22:23

Ładnie zrobiony rysunek. Niezh to będzie \(\displaystyle{ z_1}\). Dorysuj tam \(\displaystyle{ z_2}\). Jak zaznaczysz wektor \(\displaystyle{ z_1+z_2}\)?

xyz432 · Post autor: **xyz432** » 22 lut 2014, o 23:05

Próbowałem jakoś mniej więcej w programie to narysować. Tak ma to wyglądać?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2014, o 23:06

Świetnie. Teraz czas na różnicę. Zaznacz ją na tym samym rysunku.

xyz432 · Post autor: **xyz432** » 22 lut 2014, o 23:21

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2014, o 23:22

Przesuń to do końca wektora \(\displaystyle{ z_2}\). Co zauważasz?

xyz432 · Post autor: **xyz432** » 22 lut 2014, o 23:28

Wtedy koniec tego wektora jest w tym samym punkcie co koniec wektora \(\displaystyle{ z_1}\).

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2014, o 23:30

Teraz skasuj niepotrzebne rzeczy, czyli tę poprzednią różnicę i zostaw sam równoległobok. Czym są dla niego odcinki zielony i żółty?

xyz432 · Post autor: **xyz432** » 22 lut 2014, o 23:32

Przekątne.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2014, o 23:48

Świetnie. Teraz wracamy na początek. Czy znasz z geometrii twierdzenie o równoległoboku mówiące, że suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości boków? Przecież to mówi równość, o którą pytałeś. Moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) to długość wektora wodzącego tej liczby.

Twierdzenie o równoległoboku łatwo wyprowadzamy z twierdzenia cosinusów.

Tak więc mamy tu regułę równoległoboku.

Masz młody wiek, ale powiem Ci więcej. Okazuje się, że w przestrzeni unormowanej można wprowadzić iloczyn skalarny zgodny z normą wtedy i tylko wtedy, gdy norma spełnia właśnie warunek równoległoboku. Jest to twierdzenie Jordana i von-Neumanna z roku 1937. Nie przejmuj się, jeśli na razie tego nie rozumiesz.

xyz432 · Post autor: **xyz432** » 23 lut 2014, o 00:25

Dzięki wielkie za pomoc, teraz już wszystko rozumiem. Twierdzenia o równoległoboku co prawda jeszcze nie miałem, ale teraz już z udowodnieniem go nie będzie problemu. Jeszcze raz wielkie dzięki