Witam mam problem z pewnym zadaniem, byłbym bardzo wdzięczny za ewentualną pomoc.
Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór:
\(\displaystyle{ A=\left\{ z \in C:z\cdot \overline{z}-3\left| z\right|-4=0\right\}}\)
podstawiłem \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}-3 \sqrt{ x^{2}+ y^{2} }-4=0}\)
i teraz nie wiem co zrobić, wpadłem na pomysł żeby za \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}}\) podstawić jakąś zmienną pomocniczą t ale wtedy wychodzą mi jakieś bzdury i jestem w kropce.
pozdrawiam
Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór.
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór.
Użyj postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \bar{z}=|z|(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))=|z|(\cos\varphi-i\sin\varphi)}\)
Po podstawieniu dostaniemy
\(\displaystyle{ |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot |z|(\cos\varphi-i\sin\varphi)-3|z|-4=0}\)
\(\displaystyle{ |z|^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)-3|z|-4=0}\)
\(\displaystyle{ |z|^2-3|z|-4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25,\ |z|_1=-1,\ |z|_2=4}\)
Otrzymujemy ostatecznie \(\displaystyle{ |z|=4}\) co opisuje okrąg o środku w początku układu i promienu \(\displaystyle{ 4}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \bar{z}=|z|(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))=|z|(\cos\varphi-i\sin\varphi)}\)
Po podstawieniu dostaniemy
\(\displaystyle{ |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot |z|(\cos\varphi-i\sin\varphi)-3|z|-4=0}\)
\(\displaystyle{ |z|^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)-3|z|-4=0}\)
\(\displaystyle{ |z|^2-3|z|-4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25,\ |z|_1=-1,\ |z|_2=4}\)
Otrzymujemy ostatecznie \(\displaystyle{ |z|=4}\) co opisuje okrąg o środku w początku układu i promienu \(\displaystyle{ 4}\).