suma pierwiastków liczby zespolonej stopnia 2014

[koksu27]

Witam. Mam problem z zadaniem, które miałem na kolosie z algebry. Do rzeczy:
Oblicz sumę wszystkich pierwiastków stopnia 2014 z liczby zespolonej \(\displaystyle{ 1-i}\)
Proszę o wytłumaczenie jak to zrobić. Z góry dziękuję za pomoc.

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\left(|z|e^{\text i\theta}\right)^\frac1n=|z|^\frac1n\cdot e^{\text i\cdot\frac{\theta+2k\pi}{n}}}\)

\(\displaystyle{ S=\sum\limits^{n-1}_{k=0}|z|^\frac1ne^{i\cdot\frac{\theta+2k\pi}{n}}=|z|^\frac1ne^{i\frac{\theta}{n}}\cdot\sum\limits^{n-1}_{k=0}e^{i\frac{2k\pi}{n}}}\)

[yorgin]

Inne podejście:

Każde takie \(\displaystyle{ z}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ z^{2014}=1-i}\).

Na podstawie tego równania zdefiniuj odpowiedni wielomian i zastosuj wzory Viete'a.

[koksu27]

yorgin, mógłbyś mi to bardziej wyjaśnić?

[yorgin]

Definiujesz wielomian, którego pierwiastkami są Twoje pierwiastki. Skąd go wziąć napisałem poprzednio.

Potem szukasz wzorów Viete'a i odnajdujesz w nich wzór na sumę pierwiastków wielomianu.

Prościej się chyba nie da.

[koksu27]

Problem w tym, że własnie nie wiem jak go zdefiniować :/
za \(\displaystyle{ z}\) trzeba podstawić \(\displaystyle{ x+iy}\)?

[yorgin]

Nie.

Jak wygląda wielomian, którego pierwiastkami są pierwiastki drugiego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) ?

[koksu27]

\(\displaystyle{ W(x)= A x^3 +Bx^2 +Cx + D}\)
o tak? bo jeśli mają być 2 stopnia to wielomian musi być stopnia wyższego i wtedy \(\displaystyle{ W(1)=0}\)

[yorgin]

Źle.

Jak wygląda wielomian, którego jedynymi pierwiastkami są pierwiastki z \(\displaystyle{ 1}\)? Jak wygląda jawny wzór?

[koksu27]

jedyne co mi przychodzi na myśl to \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^2}\) a raczej skoro są to pierwiastki z 1 czyli zakładam, że n to \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^n}\)

[yorgin]

Ja pytam o liczby zespolone.

Jaki wielomian najniższego stopnia ma jako pierwiastki wszystkie pierwiastki stopnia drugiego z jedynki?