zad.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(\displaystyle{ z ^{2}-z(1+i)+i=0}\). Wynik zapisać w postaci algebraicznej lub trygonometrycznej.
Proszę sprawdzić czy jest to dobre rozwiązanie, bo sugerując się Wolframem (% ... 29%2Bi%3D0)
rozwiązanie jest inne. Stąd moje pytanie czy Wolfram źle liczy czy może ja ?
Z góry dziękuję za pomoc.
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \Delta=(1+i) ^{2}-4i=
i ^{2}-2i+1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-2i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{-2i}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{-2i}=a+bi /^{2}}\)
\(\displaystyle{ -2i=(a+bi) ^{2}}\), a więc \(\displaystyle{ a=b \ lub \ a=-b}\)
\(\displaystyle{ -2i=a ^{2} +2abi+b ^{2}i ^{2}}\)
\(\displaystyle{ -2i=a ^{2} -b ^{2} +2abi}\)
Rozdzielam część rzeczywistą i urojoną z ostatniego równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a ^{2}-b ^{2}=0 \\-2=2ab\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}=b ^{2}}\), więc \(\displaystyle{ a=b \ \ lub \ \ a= -b}\)
podstawiam do pierwszego równania a=b i wychodzi sprzeczność:
\(\displaystyle{ -2=2b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ -1=b ^{2}}\), sprzeczne
podstawiam do pierwszego równania a=-b i wychodzi :
\(\displaystyle{ -2=-2b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 1=b ^{2}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-1 \\a=1\end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases}b=1 \\a=-1\end{cases}}\)
Czyli postać algebraiczna wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}z _{1}=1-i \\z _{2}=-1+i \end{cases}}\)
