znajdź pierwiastki z liczby zespolonej

urbizord · Post autor: **urbizord** » 15 lut 2014, o 17:22

Witam, mam problem z znalezieniem pierwiastków poniższej liczby
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}}\)

główny problem mam z wyznaczeniem kąta, przez co nie jestem w stanie zastosować wzorów.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 15 lut 2014, o 17:57

Zapisz to, co pierwiastkujesz, w postaci trygonometrycznej, nie zapominając o okresowości sinusa i cosinusa. Następnie moduł spierwiastkuj normalnie jak w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), a do tego, co "zostaje", zastosuj wzór de Moivre'a.
Bardzo gruba podpowiedź: \(\displaystyle{ i=0+1 \cdot i}\). Cóż to za kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) spełniają \(\displaystyle{ \cos \alpha=0 \wedge \sin \alpha=1}\)?

urbizord · Post autor: **urbizord** » 15 lut 2014, o 18:32

mi również wychodzi \(\displaystyle{ \cos a = 0}\) i \(\displaystyle{ \sin a = 1}\) jednak to oznaczałoby że kąt jest równy \(\displaystyle{ 90}\) stopni, a na wolframie wychodzi że kąt równa sie \(\displaystyle{ 30}\) stopni.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 15 lut 2014, o 18:59

Bo nie użyłeś wzoru de Moivre'a bądź użyłeś go nieprawidłowo. Przy pierwiastkowaniu argument kątowy dzielimy.
PS Nie zapominaj o okresie, powinno być \(\displaystyle{ 90+2k \cdot 180}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) całkowite (nie lubię takiej notacji, ale skoro nie piszesz w radianach, to ja też nie będę, coby zamieszania nie robić).
Po użyciu de Moivre'a otrzymujesz...

urbizord · Post autor: **urbizord** » 15 lut 2014, o 23:28

problem rozwiązany, dziękuje za pomoc.