Równanie zespolone

[wojtek07070]

Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ z^{2} = \frac{ \sqrt{3}-i }{i-1}}\)
Interesuje mnie czy dobrze rozwiązuję ten przykład, jeżeli nie - proszę o poprawkę z odrobiną tłumaczenia.
\(\displaystyle{ z^{2} = \frac{ \sqrt{3}-i }{i-1} = \frac{2 \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}i \right) }{2 \left( \frac{1}{2}i- \frac{1}{2} \right) } = \frac{ \left( \cos \frac{11}{6} \pi -i\sin \frac{11}{6} \pi \right) }{ \left( \cos \frac{5}{3} \pi -i\sin \frac{11}{6} \pi \right) } = \cos \left( \frac{11}{6} - \frac{5}{3} \pi \right) -i\sin \left( \frac{11}{6}- \frac{11}{6} \right) = \cos \left( \frac{ \pi }{12} \right) -i\sin \left( 0 \right)}\)
Teraz liczę pierwiastki:
\(\displaystyle{ z^{2}=\cos \left( \frac{ \pi }{12} \right)}\)
\(\displaystyle{ k = 0}\)\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt[n]{\left| z\right| } \left( \cos \left( \frac{ \pi }{24} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ k = 1}\)\(\displaystyle{ z_{2}= \sqrt[n]{\left| z\right| } \left( \cos \left( \frac{ \pi +2 \pi }{24} \right) \right) = \sqrt[n]{\left| z\right| } \left( \cos \left( \frac{ \pi }{8} \right) \right)}\)
Mam problem z policzeniem pierwiastka z modułu, co tam wziąć za część urojoną, a co za rzeczywistą? Chyba, że źle coś robię..

[m_skiba24]

A może po prawej przemnóż przez\(\displaystyle{ \frac{i+1}{i+1}}\), a z zapisz w postaci \(\displaystyle{ x+iy}\) i podnieś do kwadratu, a następnie porównaj dwie liczby zespolone

[wojtek07070]

Mnożenie przez sprzężenie nic nie da - dalej wyjdą nierówne liczby - nie pasujące do żądnych wartości z tabeli trygonometrycznych

[m_skiba24]

po lewej masz po podstawieniu za z i potęgowaniu \(\displaystyle{ x^{2}+2xyi-y ^{2}}\) i porównujesz dwie liczby zespolene. Część rzeczywista równa rzeczywistej, a urojona urojonej. Dostaniesz z tego układ równań. Nie stosujesz wzoru na potęgowanie liczb zespolonych.

[wojtek07070]

Zrobiłem jak pisałeś:
\(\displaystyle{ \left( x-iy \right) ^{2} = \frac{ \sqrt{3}i-i }{i-1}* \frac{i+1}{i+1}}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2}-2xyi = \frac{ \sqrt{3}i+ \sqrt{3} +1-i }{-2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} -y^{2} =- \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2} \\ 2xy=- \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{ \sqrt{3} }{4y}+ \frac{1}{4y}}\)
\(\displaystyle{ \left( - \frac{ \sqrt{3} }{4y}+ \frac{1}{4y} \right) ^{2}-y^{2}=- \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}}\)
Wyszedłem na coś takiego.. rozwiązanie tego równania na wolframie krok po kroku to jakieś 50 linijek. Nie sądzę, że jest to metoda, którą należało to rozwiązać.. (Chyba, że coś źle liczę) Proszę o pomoc..

[AiDi]

Źle liczysz, sprawdź znaki w liczniku po prawej stronie, w drugiej linijce, brakuje jednego minusa. A droga może nie najkrótsza, ale poprawna.

[wojtek07070]

A moje rowziązanie, które pisałem u góry? Też jest poprawne? Swoją drogą moje jest krótsze i łatwiej to wszystko przeliczyć... Mógłby ktoś przeliczyć moją metodą? Albo chociaż wypowiedzieć się o niej?