Wzor de Moivrea

[matkuz]

Stostujać Wzor de Moivrea oblicz wyrażenie \(\displaystyle{ w = \left( 1 + \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} \right) ^{12}}\)

Jak obliczyć wartość w nawiasie? Bo to jeszcze nie jest postać trygonometryczna a nie mam pomysłu, ze wzorów na promień wychodzą głupoty i raczej dokładnej wartości kątów nie dostane, próbowałem ze wzoru na podwojony kąt ale wychodzi \(\displaystyle{ \sin ^2}\) Any idea?

[Premislav]

Ja proponuję \(\displaystyle{ 1=\cos 0}\) i wzór na sumę cosinusów. Następnie rozwinąć \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{3}}\) ze wzoru na sinus podwojonego kąta i wyłączyć \(\displaystyle{ 2\cos \frac{\pi}{6}}\). To podnosisz "normalnie" do potęgi \(\displaystyle{ 12}\)., zaś to, co zostaje, to już pięknie pod de Moivre'a pasuje, chyba że pomyliłem się w szybkich obliczeniach.
Ale to chyba dość obleśny sposób, może ktoś znajdzie ładniejszą możliwość.
Ew. można się bawić dwumianem Newtona, traktując \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}}\) jak jeden wyraz.

[matkuz]

wielkie dzięki za pomysł

ktoś ma jakąś szybszy sposób? Podnoszenie do potęgi 12 cos raczej nie będzie aprobowane...

[musialmi]

Spróbowałem inną metodą, ale doszedłem do tego samego. I wiesz co? Wg mnie i nie tylko mnie, \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{12}}\) to liczba jak każda inna, przecież nie musisz tego rozpisywać na postać liczb w pierwszej potędze